27 декабря 2001
2720

Владимир Арнольд: История джаза - вместо курса алгебры

Владимир Игоревич, вы много времени уделяете преподавательской дея-
тельности. В связи с этим как вы оцениваете предлагаемую и проводящую-
ся уже фактически реформу образования в России - и в целом, и в части,
касающейся преподавания математики?

Древний римский сенат постановил: "Предками нашими установлено, чему
детей учить и в какие школы ходить; новшества же, творимые теперь воп-
реки обычаю и нраву предков, представляются неправильными и нежела-
тельными" (Гай Светоний Транквилл, "О риторах", в книге "Жизнь двенад-
цати Цезарей", М.: Правда, 1991, стр. 303).

Наша "реформа", как я прочел в хвалящих ее газетах, предназначена для
того, чтобы нашим школьникам стало так же приятно в школе, как амери-
канским: ничего не надо знать, ничего не надо учить, никаких экзаме-
нов. Мой племянник заканчивал среднюю школу в США и радостно заменил
себе курс алгебры курсом истории джаза. Статистика, опубликованная
Американским математическим обществом, показывает, что среди учителей
математики разделить число 1+1/2 на число 1/4 у них правильно может,
помнится, не то один процент, не то два процента всех учителей.

Наши школьники до сих пор понимают, почему 1/2+1/3 - совсем не 2/5,
как предпочитают складывать дроби американские студенты. Пуанкаре дав-
но уже объяснил, что есть только два способа учить дробям: разрезать,
хотя бы мысленно, либо яблоко, либо круглый пирог. Современные "рефор-
маторы", отвергая как яблоко, так и пирог, заменяют их либо компьюте-
рами, либо сверхабстрактными теориями вроде так называемого "кольца
Гротендика": "дробь - это класс эквивалентности пар целых чисел, счи-
таемых эквивалентными, если...".

Многочисленные проверки (например, международными олимпиадами) показы-
вают, что наша система образования, особенно в области математики, од-
на из лучших в мире, если не просто самая лучшая. Дело в том, что всю-
ду прошло "реформирование", отучающее думать и уничтожившее математи-
ческую (да и иную) культуру, а мы пока еще сохранили лучший уровень.
Боюсь, что и мы пойдем по этому всемирному пути уничтожения науки и
культуры. Штат Калифорния принял недавно постановление требовать при
поступлении в вузы умения делить 111 на 3 без компьютера (что было для
большинства поступающих неодолимым препятствием). Федеральное прави-
тельство обвинило калифорнийцев в антиконституционной чрезмерной тре-
бовательности. Надеюсь, что наша реформа не понизит математический
уровень наших школьников и студентов до американского, хотя объявлен-
ная цель реформирования именно такова.

Ваше отношение к ползучему внедрению тестовой системы контроля и оцен-
ки знаний учащихся?

Тесты вроде "чему равна сумма 2+3" кажутся безвредными, но в действи-
тельности даже они опасны. Французский министр науки и образования по-
лучил на этот вопрос от младшеклассника, хорошо проходившего тесты,
ответ: "3+2, так как сложение коммутативно" (а считать он не умел). В
Америке много лет школьники успешно справлялись с тестом "найти пло-
щадь прямоугольного треугольника с гипотенузой в 10 дюймов длиной и
опущенной на нее высотой длиной в 6 дюймов". Я надеюсь, что наши
школьники пока еще ясно видят, что таких треугольников не бывает, но
переход к тестам, вероятно, низведет их до американского уровня:
S=ah/2=10х6/2=30 квадратных дюймов.

Тесты могут помогать учить правила уличного движения или таблицу умно-
жения, но они воспитывают не умение мыслить, а скорее быстроту реакции
на стандартные раздражители. Если мы хотим воспитывать и учить килле-
ров, то, возможно, тестовая система и поможет. Науке, культуре и эле-
ментарному школьному образованию они, очевидно, противопоказаны. Экза-
мены (выработанные многотысячелетним китайским опытом как необходимое
средство для отбора государственных чиновников) никак нельзя заменить
тестами.

Вот еще образчик американского теста (для поступления в аспирантуру по
любой специальности): "Что ближе всего к паре "угол-градус" из пар
"молоко-пинта", "время-час", "площадь-квадратный дюйм". Объявленное
стандартное решение: "площадь-квадратный дюйм", так как квадратный
дюйм - минимальная мера площади, а градус - угла, в то время как час
делится на минуты, а пинта на миллилитры". Американский профессор,
блестяще справившийся с этим тестом, объяснил мне (думавшему, что от-
вет "время", так как и час и градус делятся на 60 минут), что спра-
виться с тестом можно, только если правильно представляешь себе сте-
пень идиотизма его составителей. Да минует наших детей чаша сих тес-
тов! (Подробный обзор проблемы имеется в статье Игоря Шарыгина в
"Школьном обозрении", 2000, # 1).

В 1998 году вы принимали участие в работе сессии Папской академии наук
в Ватикане. В числе прочих там обсуждалась такая, на мой взгляд, нес-
колько парадоксальная тема: нужно ли учить детей складывать дроби? К
какому выводу пришло высокое научное собрание и ваше мнение по этому
вопросу? Чем вообще была вызвана его постановка?

О дробях я уже рассказал выше. На этом заседании меня больше всего по-
разил своей разумностью сам папа Иоанн Павел II, который сделал доклад
о взаимодействии науки (которая, по его словам, одна имеет средства
для отыскания истины) и Церкви (которая, он думает, квалифицированнее
решает вопрос о том, в каком направлении использовать научные открытия
вроде атомных бомб). Папа Иоанн-Павел со мной говорил по-русски. Он
сказал мне, что мое предложение реабилитации Джордано Бруно принять
нельзя, так как Бруно в отличие от Галилея осужден за неверное теоло-
гическое утверждение, будто его учение о множественности обитаемых ми-
ров не противоречит Священному Писанию. "Вот, дескать, найдите инопла-
нетян - тогда теория Бруно будет подтверждена и вопрос о реабилитации
можно будет обсудить". Там же я узнал и об обвинении Галилея. Оказыва-
ется основное инкриминируемое ему утверждение состояло не в том, что
Земля вертится, а в том, что, по его словам, "теория Коперника не про-
тиворечит Библии". Галилей (в основном) реабилитирован, ибо справедли-
вость его утверждения теперь признана Ватиканом. Предложение реабили-
тировать Джордано Бруно я делал в ответ на предложение вступить в Ва-
тиканскую Академию, в которую я из-за этого отказа и не стал вступать.
Джордано Бруно был, говорят, другом Шекспира, который, по-видимому,
описал его в виде Просперо в "Буре" и в виде Бирона (или Байрона?) в
"Напрасных усилиях любви". Бруно некоторое время работал в Оксфорде и
вообще сменил много профессий (в том числе наборщика в типографии,
учителя и священника, последнее было для него роковым).

В одном из своих выступлений вы заявили: "Расцвет математики в уходя-
щем столетии сменяется тенденцией подавления науки и научного образо-
вания обществом и правительствами большинства стран мира. Математика
сейчас, как и две тысячи лет назад, - первый кандидат на уничтожение".
С другой стороны, сегодня мы постоянно слышим чуть ли не заклинания о
том, что мир вступает в эпоху экономики, основанной на знаниях. Поня-
тие "инновационная модель развития" стало чуть ли не официальной докт-
риной многих государств. Но эта инновационная модель развития, нас-
колько я понимаю, просто невозможна без развития математики - доста-
точно только взглянуть на те невероятно сложные устройства, которые
стали уже неотъемлемой частью нашего быта. Как вы объясните этот пара-
докс?

Рубить сук, на котором сидишь, не новое занятие. Президент Российской
академии наук Юрий Сергеевич Осипов сказал как-то, что некоторые дума-
ют, что собирать яблоки станет гораздо удобнее, если яблоню срубить.
Бюрократы - естественные враги более квалифицированных специалистов,
деловой конкуренции с которыми они никак бы не выдержали. Уже Лев
Толстой явно говорил, что всякое правительство автоматически начинает
бороться против наук, и прежде всего против образования своего народа,
опасаясь понимания народом своих поступков.

Ваше мнение по поводу работы Московского центра независимого математи-
ческого образования и Независимого университета? В эти дни как раз от-
мечается его десятилетний юбилей...

И Независимый университет и центр процветают. Я имел удовольствие пре-
подавать в июле 2001 года в Дубне их студентам и школьникам (победите-
лям олимпиад) - уровень удивительно высокий, особенно если учесть ог-
ромные финансовые трудности. Преподаватели этих школ замечательно ква-
лифицированно выполняют практически бесплатно огромную работу, за ко-
торую им следовало бы (по мировым ценам) платить в сотни раз больше.
Неспособность нашего начальства осуществить это неизбежно приведет в
конце концов к вырождению российской науки, за которым последует и
техническая, и военная отсталость. Но тогда будет уже поздно исправ-
лять положение. В древних Афинах была замечательная научная культура,
в особенности математическая. А что теперь? Если имеющаяся у нас недо-
оценка науки и культуры обществом и правителями сохранится, то нас
ждет судьба греческой математики и науки вообще. Точно так же в век
Леонардо и Микеланджело, Рафаэля и Боттичелли итальянская живопись
достигла уровня неповторимого, несохранившегося после окончания эпохи
меценатов.

Как, по вашему мнению, следует учить математике в вузах в XXI веке?

По моему мнению, фундаментальным остается принцип, высказанный Эйн-
штейном в его "творческой автобиографии": "Кажется почти чудом, что
современные методы обучения еще не совсем удушили святую любознатель-
ность... Здоровое хищное животное отказалось бы от мясной пищи, если
бы его заставляли есть ударами бича, особенно если принудительно пред-
лагаемая пища не была им самим выбрана". От удушения любознательности
ударами бича следует перейти к поощрению самостоятельных открытий.
Главное в преподавании не зубрежка, а решение задач. В книге "Вы, ко-
нечно, шутите, мистер Фейнман" великий физик критикует современное
преподавание под видом физики в Бразилии, но его критика относится и к
математическому преподаванию в Европе.

В применении прежде всего к математике я подробно описал свои идеи о
том, как это осуществить, в статье "Математический тривиум" ("Успехи
математических наук", 1991, т. 46, в. 1, с. 225-232; ч. II: 1993, т.
48, в. 1, с. 211-222). Эта статья подобна минимуму Ландау, но для ма-
тематиков. Она была приготовлена первоначально для Физтеха. Но тамош-
ние математики заявили, что умеют решать только 10 задач из ста задач
этого тривиума, и потому отвергли его. Вторая часть статьи содержит
сравнение с заграничными экзаменами по математике. Другая моя статья
"О преподавании математики" ("Успехи математических наук", 1998, т.
53, # 1, с. 229-234) - анализирует в основном французскую систему об-
разования (недостатки которой заразны и угрожают и нам).

Мои американские коллеги объяснили мне, что предметы, которым они обу-
чают своих студентов, тем совершенно не нужны, неинтересны и никогда
не понадобятся. Единственная цель этого, по словам Ричарда Фейнмана,
"самораспространяющегося псевдообразования" - установить иерархию спо-
собностей, которая проявляется в чем угодно (хотя бы и при изучении
"эфиопских склонений"): тот, кто сумел в университете пробиться через
нелепые требования ненужных тестов, уже по одному этому научился прео-
долевать трудности, и следовательно, легче научится и своему нужному
делу, когда начнет работать.

Наше обучение традиционно следовало иному пути: сеять разумное, доб-
рое, вечное. Я надеюсь, что мы с этого пути не свернем.
P.S. Представленный выше текст - только часть, касающаяся системы ма-
тематического образования, из большого интервью, которое Владимир Иго-
ревич Арнольд дал нашей газете. Оставшуюся часть интервью мы планируем
опубликовать в одном из ближайших выпусков рубрики "Наука".

Опубликовано в Независимой газете от 27.12.2001

http://frolencia.nm.ru/Students/ARNOLD.TXT
Рейтинг всех персональных страниц

Избранные публикации

Как стать нашим автором?
Прислать нам свою биографию или статью

Присылайте нам любой материал и, если он не содержит сведений запрещенных к публикации
в СМИ законом и соответствует политике нашего портала, он будет опубликован