09 мая 2002
3241

Владимир Арнольд: Математика и математическое образование в современном мире *

"No star wars - no mathematics" - говорят американцы. Тот прискорбный
факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния матема-
тика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, яв-
ляется позором для современной цивилизации, признающей только "прик-
ладные" науки1, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом. На
самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не сущест-
вовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого труд-
но заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру,
существуют лишь приложения науки. Опыты с янтарем и кошачьим мехом ка-
зались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но именно
они изменили наш мир, после Того как Фарадей и Максвелл написали урав-
нения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки
окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ
современных правителей платить по этому счету - удивительно недально-
видная политика, за которую соответствующие страны, несомненно, будут
наказаны технологической и, следовательно, экономической (а также и
военной) отсталостью.

Человечество в целом (перед которым, ведь, стоит тяжелейшая задача вы-
живания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тя-
желую цену за близоруко-эгоистическую политику составляющих его стран.
Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсе-
местно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в це-
лом, направленное на уничтожение математической культуры как части
культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение ма-
тематического образования.

Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях
сделалось, к несчастью, системой. Наиболее характерными приметами фор-
мализованного преподавания является изобилие немотивированных опреде-
лений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутс-
твие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков - столь же пос-
тоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематема-
тических приложений и мотивировок понятий математики. Уже Пуанкаре от-
мечал, что есть только два способа научить дробям - разрезать (хотя бы
мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения
(аксиоматическом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать
числители с числителями, а знаменатели - со знаменателями.

Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической
физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы постро-
ения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство
строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом
надежные выводы не должны оставаться привилегией Шерлока Холм-
са - каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять
адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять
неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не
столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько матема-
тический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социаль-
ном значении вычислений (и computer science) сила математики - не в
них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным
рецептам.

В истории России был премьер-министр с математическим образованием
(окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Че-
бышева). Вот как он описывает разницу между мягким и жестким математи-
ческим моделированием2: "Между математиками есть двоякого рода люди:
1) математики-философы, т. е. математики высшей математической мысли,
для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математи-
ков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не циф-
ры и исчисления, а сами математические идеи; 2) напротив, есть такие
математики, которых философия математики, математические идеи не тро-
гают, которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и форму-
лах... Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся всегда
с презрением к математикам - исчислителям, а математики-исчислители,
среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на матема-
тиков-философов как на людей в известном смысле "тронутых".

Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое
происхождение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за
умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности
силлогизмов, а правое - за пространственную ориентацию, интуицию и все
необходимое в реальной жизни. У "математиков - исчислителей", по тер-
минологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет не-
доразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним "За-
щиту Лужина" Набокова). Но доминирование математиков этого типа и при-
вело к тому засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно
в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество
естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом яви-
лись повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех
правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожени-
ем. Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий
мозга.

После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и
принял предложение частной компании стать начальником дистанции на
Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по
неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных
(стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кас-
сира, кочегара, машиниста, начальника станции...) - неоценимый опыт
для будущего премьер-министра. Однажды царский поезд, следующий в
Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на воз-
мущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу
своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не
подчинявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена.
Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у стан-
ции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Вит-
те был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии
стал и премьер-министром.

Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах эконо-
мики и техники, чем в политических интригах (к которым больший талант
имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распути-
на он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для
ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (Русско-японская
война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте ос-
тавался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша
история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции
и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция... Конечно, сила Витте
заключалась вовсе не в применении какой-либо математики ("исчисле-
ний"), а в том способе мышления, который он называет "математикой-фи-
лософией" и который заставляет человека с математическим образованием
думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или
бессознательного) мягкого математического моделирования. Идея о необ-
ходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или
производственной деятельности (исключая, быть может, политические инт-
риги) была хорошо понята уже сто лет назад3:

Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую
запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого оши-
бочные выводы - и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит ог-
ромного труда и бесконечных, часто бесплодных споров".

К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математичес-
кой экономики Парето4: "Экономисты, не знающие математики, находятся в
положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни Того,
что она из себя представляет, ни Того даже, что представляет из себя
каждое входящее в нее единичное уравнение".

На приеме в честь президента Франции, приезжавшего недавно в Москву, я
обсуждал проекты перестройки преподавания математики в средних школах
Франции с министром народного образования, исследований и технологии
Клодом Аллегре и его советником Винсентом Куртийо, который так описал
их планы: берем учебник математики, рвем его на куски, оставляем одну
треть, выкидывая остальное, но зато требуем, чтобы оставшуюся треть
школьники знали как следует. Хочу предупредить возможных российских
реформаторов-последователей: математика - живой организм, вдобавок по-
добный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных ступенек чрезвы-
чайно опасно. Выводы: планируемое во всех странах подавление фундамен-
тальной науки, и в частности математики (по американским данным, на
это им потребуется лет 10 - 15), принесет человечеству (и отдельным
странам) вред, сравнимый со вредом, который принесли костры инквизиции
западной цивилизации (и Испании).

Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть куль-
турного багажа каждого школьника. Основной целью математического обра-
зования должно быть воспитание умения математически исследовать явле-
ния реального мира, умение, так хорошо описанное Витте в его характе-
ристике "математики-философии" и так блестяще использованное им в вов-
се не математической деятельности. Искусство составлять и исследовать
мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого
умения. Применяя таблицу умножения, легко получить следующий резуль-
тат: уменьшение средней продолжительности жизни на десять лет приводит
в масштабах СССР к такой же потере человеко-лет, как одновременный
расстрел порядка 80 миллионов человек (в масштабах России - порядка
40 миллионов). Здесь использована лемма: когда коммунисты расстрелива-
ют вас, вы теряете в среднем порядка половины своей жизни.

Математика, подобно физике, экспериментальная наука, отличающаяся от
физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо,
именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше
бюджета физических отделений (а следовательно, производительность на-
ших математиков - в соответствующее число раз выше). Как мне сообщил
на днях академик-секретарь отделения математики РАН Л. Д. Фаддеев,
затраты СССР на математику в год составляли стоимость одного танка, а
современные затраты России - стоимость примерно одной десятой танка в
год. Мы живем в сумасшедшем мире, будущее которого представляется
весьма сомнительным. То, что в России еще остались математики, упорно
на желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых
студентов, - свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения на-
ших западных коллег? глупости), традиционного для российской интелли-
генции. Но долго удерживаться такое состояние не может.


http://frolencia.nm.ru/Students/ARNOLD.TXT

Рейтинг всех персональных страниц

Избранные публикации

Как стать нашим автором?
Прислать нам свою биографию или статью

Присылайте нам любой материал и, если он не содержит сведений запрещенных к публикации
в СМИ законом и соответствует политике нашего портала, он будет опубликован