Серия: ADVANCED STUDIES IN MATHEMATICS AND MECHANICS (выпуск 2)
Аннотация: В книге излагается теория колец эндоморфизмов абелевых групп. Эту теорию можно отнести и к теории абелевых групп и к теории колец эндоморфизмов модулей. Представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов. Изложены как классические результаты, так и новейшие достижения и открытые проблемы.
Книга полезна всем алгебраистам, интересующимся абелевыми группами, кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру.
Скачать оглавление, аннотацию, фрагмент книги (*.pdf, 298Kb)
Предисловие: С каждой абелевой группой можно связать ассоциативное кольцо с единицей - кольцо всех ее эндоморфизмов. Теория колец эндоморфизмов абелевых групп является быстро развивающимся разделом современной алгебры. С одной стороны, ее можно рассматривать как часть теории абелевых групп, а с другой - как ветвь теории колец эндоморфизмов модулей и теории представлений колец.
Изучение колец эндоморфизмов абелевых групп представляет интерес по нескольким причинам: во-первых, оказывается возможным получить дополнительные сведения о самих группах, ввести в рассмотрение новые понятия и методы, выделить новые интересные классы групп; во-вторых, это стимулирует дальнейшие исследования по теории модулей и их колец эндоморфизмов. Отметим и другие направления алгебры, в которых применение теории колец эндоморфизмов оказывается полезным: строение аддитивных групп колец; E-модули и E-кольца; гомологические свойства абелевых групп.
Заметную роль в становлении теории колец эндоморфизмов абелевых групп и модулей сыграли книги Р. Бэра [15] и И. Капланского [323]. Кольцам эндоморфизмов абелевых групп уделено серьезное внимание в монографиях Л. Фукса [260], [114] и [115]. Кольца эндоморфизмов также рассматриваются в книгах А. Г. Куроша [62], Д. Арнольда [161], К. Бенабдаллаха [184]. Различные результаты о кольцах эндоморфизмов модулей можно найти в книгах И. Ламбека [63], К. Фейса [109], [110], Ф. Каша [30], А. А. Туганбаева [449]. Достижения в этой области освещены в обзорах А. П. Мишиной [73], [74], [76], [77], [376], А. В. Михалёва [69], А. В. Михалёва и А. П. Мишиной [71], В. Т. Маркова, А. В. Михалёва, Л. А. Скорнякова, А. А. Туганбаева [64]. Группы автоморфизмов абелевых групп, т. е. группы обратимых элементов колец эндоморфизмов, изучаются в книге И. Х. Беккера и С. Ф. Кожухова [5]. Данная книга целиком посвящена кольцам эндоморфизмов абелевых групп. Авторы сознательно приняли такое ограничение, будучи убеждены в том, что теория колец эндоморфизмов абелевых групп образует интересное самостоятельное направление, а также в том, что кольца эндоморфизмов абелевых групп являются прекрасным введением в общую теорию колец эндоморфизмов модулей. Тем не менее, иногда в комментариях мы касаемся примыкающих результатов о кольцах эндоморфизмов модулей. Авторы надеются, что наличие такой книги будет способствовать дальнейшим исследованиям в теории колец эндоморфизмов. Мы старались затронуть основные части этого раздела алгебры в объеме, достаточном для того, чтобы оценить богатство содержания области, разнообразие методов, красоту результатов и трудность открытых проблем.
Крупный вклад в теорию колец эндоморфизмов абелевых групп на этапах ее становления внесли Р. Бэр, И. Капланский, А. Корнер, Л. Я. Куликов, А. Г. Курош, Р. Пирс, Дж. Рейд, Ф. Ричмен, Т. Селе, Л. Фукс и Э. Уокер. В дальнейшем, интересное развитие этой области связано с именами У. Альбрехта, Д. Арнольда, Р. Гёбеля, Б. Голдсмита, Х. Гоетерса, М. Дугаса, Э. Леди, В. Либерта, К. Мерли, У. Мэя, К. Рангасвами, Р. Уорфилда, Т. Фатикони, Ю. Хаузен, П. Шульца, С. Шелаха и других специалистов.
Кольца эндоморфизмов абелевых групп - это удивительная область знания. Часто нелегко решить, что здесь превалирует: методы теории групп или методы теории колец? Постоянно рассматриваются всевозможные модули над ассоциативными кольцами. Достойно представлены в этой теории категорные методы и топологические соображения. Общая проблематика этой теории может быть сформулирована следующим образом: найти (по возможности точные) соотношения между свойствами данной абелевой группы A и свойствами ее кольца эндоморфизмов E(A). Эта задача весьма многогранна. Мы можем накладывать различные условия на кольцо E(A) и пытаться получить информацию о самой группе A. Изучается внутреннее строение кольца эндоморфизмов, прежде всего его ниль-радикал и радикал Джекобсона. Рассматривается одна из основных проблем о восстановлении группы по ее кольцу эндоморфизмов. Иными словами, эта проблема о том, в какой степени эндоморфизмы определяют группу. Результаты, решающие эту проблему, мы называем теоремами об изоморфизме. Другая фундаментальная проблема, касающаяся колец эндоморфизмов: указать критерии того, чтобы абстрактное кольцо являлось кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Соответствующие теоремы - это теоремы о реализации. Произвольная абелева группа A естественным образом может быть рассмотрена как левый модуль над своим кольцом эндоморфизмов E(A). Так появляется еще один важный объект исследования: ассоциированный модуль E(A)A. Серьезное внимание уделено группам с большим числом эндоморфизмов. Эти вопросы и составляют основное содержание книги. Итак, можно считать, что б?льшая часть книги сконцентрирована вокруг связей между перечисленными выше объектами: абелевой группой A, ее кольцом эндоморфизмов E(A) и модулем E(A)A. Авторы надеются, что читатели будут с интересом следить за развитием их отношений. Благодаря усилиям многих математиков, эти отношения, скрытые от поверхностного взгляда, предстанут во всем своем многообразии. Они достигают кульминации в главе 6, являющейся вершиной книги. В ней перекликаются основные мотивы предыдущих глав.
В книге представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов, при этом включены как ранние результаты, так и полученные в последние годы. Читатель подводится к переднему краю исследований. Выбор включенных результатов отражает вкусы авторов. Оправданием им служит то, что доказательства некоторых глубоких теорем, оставшихся за пределами книги, опираются на довольно специальные сведения об абелевых группах или кольцах и модулях. Не удалось включить и важные теоремы о реализации 80-х годов Р. Гёбеля, М. Дугаса, А. Корнера, С. Шелаха и других авторов (небольшое исключение составляет ? 30), доказательства которых существенно используют технически сложные теоретико-множественные методы. Вместе с многочисленными применениями эти результаты составляют самостоятельное и далеко продвинутое направление, базирующееся на применении теоретико-множественных методов в теории абелевых групп и гомологической алгебре. Это направление выходит за рамки данной книги и безусловно нуждается в отдельном рассмотрении. Частично это реализовано в книге П. Эклофа [129].
При работе над книгой авторы столкнулись с одной серьезной трудностью. Предмет книги является, как уже отмечалось, областью, промежуточной между теорией абелевых групп и теорией колец. Естественно поэтому, что доказательства многих теорем требуют разнообразных сведений об абелевых группах, кольцах и модулях. Кроме того, используются определенные элементы топологической алгебры и теории категорий. Попытка сделать книгу замкнутой в себе, надо полагать, оказалась бы несостоятельной. Во всяком случае, она несомненно привела бы к несообразному увеличению объема. Авторы избрали иной путь. Для удобства чтения в первых двух параграфах собраны необходимые определения и формулировки утверждений об абелевых группах, кольцах и модулях, непосредственно используемых в тексте. В начале каждой главы (а иногда и параграфа) мы также приводим, возможно повторяя, нужные определения и результаты. Как правило, они стандартны, достаточно хорошо известны и содержатся, например, в одной из перечисленных ниже книг. По теории абелевых групп кроме общепринятого руководства, каким является двухтомная монография Л. Фукса "Бесконечные абелевы группы" (Фукс [114], [115]), желательно использовать книгу Д. Арнольда [161]. По теории колец и модулей мы рекомендуем следующие книги: Н. Джекобсон "Строение колец" (Джекобсон [22]), К. Фейс "Алгебра: кольца, модули и категории" (Фейс [109], [110]), а также И. Ламбек "Кольца и модули" (Ламбек [63]) и Ф. Каш "Модули и кольца" (Каш [30]). Менее известные факты из книг и журнальных статей о кольцах и модулях даны, как правило, с доказательствами. Мы старались избегать ссылок на журнальные статьи в доказательствах утверждений.
Из изложенного выше ясно, что книга рассчитана на читателя в определенной степени уже знакомого с основами абелевых групп, колец и модулей. Ее можно рекомендовать студентам старших курсов, специализирующимся по алгебре, и аспирантам-алгебраистам. Книга содержит достаточно материала для спецкурса, рассчитанного на старшекурсников. Она несомненно будет полезна и специалистам, поскольку в ней впервые систематизирован обширный материал, разбросанный по многочисленным журнальным публикациям. Авторы надеются, что и широкий круг математиков найдет в ней немало полезного.
Содержание каждой главы кратко раскрывается во введении к ней. Все параграфы снабжены упражнениями различной степени трудности. Часть из них представляют собой результаты из различных статей, по каким-либо причинам не попавшие в текст с доказательством. В конце каждой главы приводятся комментарии, дается краткая историческая справка, указываются пути, по которым ведутся исследования, излагаются дополнительные результаты, упоминаются обобщения на случай модулей, которые могут заинтересовать читателя. Подобные комментарии имеются и внутри некоторых параграфов. Отмечены также нерешенные проблемы, которые авторам представлялись интересными. Ряд из них хорошо известен, другие формулируются впервые. Список литературы достаточно полон, хотя авторы и не ставили своей целью представить исчерпывающую библиографию.
Мы принимаем систему аксиом Цермело-Френкеля ZFC теории множеств (включая аксиому выбора и лемму Цорна). Термины "класс" и "множество" используются в обычном теоретико-множественном смысле. Отметим, что N обозначает множество всех натуральных чисел, Z - группа или кольцо всех целых чисел, Q - группа или поле всех рациональных чисел. Далее всегда, p - некоторое простое число, Fp - поле из p элементов, Z(n) - циклическая группа порядка n. Конец доказательства или же его отсутствие отмечается символом ?.
Кольцо всех эндоморфизмов абелевой группы A обозначается через E(A) или R; центр кольца E(A) обычно обозначается через C.
Глава 1 содержит некоторые общие результаты об абелевых группах и их кольцах эндоморфизмов. В главе 2 абелевы группы рассматриваются как модули над своими кольцами эндоморфизмов. В главе 3 изучаются кольцевые свойства колец эндоморфизмов абелевых групп. В главе 4 исследуется радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов. В главе 5 рассматриваются теоремы изоморфизма и реализации для колец эндоморфизмов абелевых групп. В главе 6 исследуются наследственные кольца эндоморфизмов и близкие вопросы. В главе 7 изучаются вполне транзитивные абелевы группы и их кольца эндоморфизмов.
Крылов Петр Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры Томского государственного университета (ТГУ).
В 1971 г. окончил механико-математический факультет ТГУ, затем учился в аспирантуре при кафедре алгебры ТГУ. В 1975 г. защитил кандидатскую, а в 1991 г. - докторскую диссертации в Институте математики СО РАН. Область научных интересов - теории абелевых групп и модулей. Опубликовал около 50 научных работ. С 1974 г. работает преподавателем на кафедре алгебре ТГУ, руководитель кафедрального научного семинара.
Михалев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей алгебры Московского государственного университета, проректор МГУ, руководитель-организатор факультета дополнительного образования МГУ.
Автор более 250 научных работ, 9 монографий и более 10 учебных пособий и учебников.
Туганбаев Аскар Аканович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей и прикладной математики РГТЭУ и кафедры высшей математики МЭИ.
Окончил механико-математический факультет МГУ. Автор более 150 научных работ, 8 монографий и нескольких учебников и учебных пособий.
www.factorialco.com
2006 г.
