Приложение 2

Нечеткие и случайные множества

	В главе 8 рассматривались такие виды объектов нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества. Цель настоящего приложения - глубже изучить свойства нечетких множеств и показать, что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. Для достижения поставленной цели формулируется и доказывается цепь теорем.
	В дальнейшем считается, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

П2-1. Законы де Моргана для нечетких множеств

	Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств
	(1)
	Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества
	(2)
		(3)
Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (2) и (3) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных в главе 8. 
	Тождества (2) и (3) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (1), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (1) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания. 

П2-2. Дистрибутивный закон для нечетких множеств

Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так,  за исключением случая, когда А - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1). 
Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.
Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С 
	(4)
В то же время равенство 
		(5)
справедливо тогда и только тогда, когда при всех  

	Доказательство. Фиксируем произвольный элемент . Для сокращения записи обозначим  Для доказательства тождества (4) необходимо показать, что
	(6)
Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала  Тогда левая часть соотношения (6) есть  а правая  т.е. равенство (6) справедливо.
Пусть  Тогда в соотношении (6) слева стоит  а справа  т.е. соотношение (6) опять является равенством.
Если  то в соотношении (6) слева стоит  а справа  т.е. обе части снова совпадают.
Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (4) доказано.
Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами (см. главу 8)

и

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда  что и требовалось доказать. 
	Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек , для которых  
	Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (5) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.
	Доказательство. По условию  при всех . Тогда из теоремы 2 следует, что  т.е.  или , что и означает, что А - четкое множество.

П2-3. Нечеткие множества как проекции случайных множеств

	С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на S (при S 0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного" сведения", поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности ? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны. 
	В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [1,2]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: "Арифметика применима тогда, когда она применима" (см. его монографию [3, с.21-22]).
	При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы  - см., например, монографию [4]). Напомним, что эти  две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются. 
	Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.
	Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1974 г. в работе [5] было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. Рассмотрим этот  метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств. 
	Определение 2. Пусть  - случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается Proj A, если 
	(7)
при всех 
	Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (7) нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное.
	Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = Proj A. 
	Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А. Пусть У1 -  носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что  при некотором m и элементы У1 занумерованы в таком порядке, что

Введем множества

Положим

Для всех остальных подмножеств Х множества У положим Р(А=Х)=0. Поскольку элемент yt входит во множества Y(1), Y(2),…, Y(t) и не входит во множества  Y(t+1),…, Y(m), то из приведенных выше формул следует, что Если  то, очевидно,  Теорема 3 доказана. 
	Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений главы 8, полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.
	Теорема 4. Для случайного подмножества А множества У из конечного числа элементов наборы чисел  и  выражаются один через другой. 
	Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:

Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой
В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества Y\X, во второй сумме переменные суммирования у1 и у2 не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 4. 
	В соответствии с теоремой 4 случайное множество А можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел  В этом наборе  а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа  следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = Card(Y) параметров из (2k-1) параметров, задающих распределение случайного множества А в общем случае.
	Будет полезна следующая теорема.
	Теорема 5. Если Proj A = B, то 
	Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств формулой для вероятности накрытия  из главы 8, определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех P(A=X) равна 1.

П2-4. Пересечения и произведения нечетких и случайных множеств

	Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1) и теоремы 5 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.
	Теорема 6. Если случайные подмножества А1 и А2 конечного множества У независимы, то нечеткое множество  является произведением нечетких множеств Proj A1 и Proj A2 .
	Доказательство. Надо показать, что для любого 
	(8)
По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством (глава 8)
	(9)
Как известно, распределение пересечения случайных множеств  можно выразить через их совместное распределение следующим образом:
	(10)
Из соотношений (9) и (10) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы
	(11)
Заметим теперь, что правую часть формулы (11) можно переписать следующим образом:
	(12)
Действительно, формула (11) отличается от формулы (12) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования   принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (11) и (12) вытекает равенство

Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством (глава 8).
	Определение 3. Носителем случайного множества С называется совокупность всех тех элементов  для которых 
	Теорема 7. Равенство 

верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств  и пусто.
	Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых
	(13)
Положим

Тогда равенство (13) сводится к условию
	(14)
Ясно, что соотношение (14) выполнено тогда и только тогда, когда р2р3=0 при всех  т.е. не существует ни одного элемента  такого, что одновременно  и , а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств  и . Теорема 7 доказана.

П2-5. Сведение последовательности операций над нечеткими множествами
к последовательности операций над случайными множествами

	Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Стоит отметить, что изучение этих связей в работе [5] (эта работа выполнена в 1974 г. и доложена на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" 18 декабря 1974 г. - см. [5, с.169]) началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата нечетких множеств Л. Заде. Дело в том, что математический аппарат нечетких множеств не позволяет в должной мере учитывать различные варианты зависимости между понятиями (объектами), моделируемыми с его помощью, не является достаточно гибким. Так, для описания "общей части" двух нечетких множеств есть лишь две операции - произведение и пересечение. Если применяется первая из них, то фактически предполагается, что множества ведут себя как проекции независимых случайных множеств (см. выше теорему 6). Операция пересечения также накладывает вполне определенные ограничения на вид зависимости между множествами (см. выше теорему 7), причем в этом случае найдены даже необходимые и достаточные условия. Желательно иметь более широкие возможности для моделирования зависимости между множествами (понятиями, объектами). Использование математического аппарата случайных множеств предоставляет такие возможности.
	Цель сведения нечетких множеств к случайным состоит в том, чтобы за любой конструкцией из нечетких множеств видеть конструкцию из случайных множеств, определяющую свойства первой, аналогично тому, как плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. В настоящем пункте приводим результаты по сведению алгебры нечетких множеств к алгебре случайных множеств.
	Определение 4. Вероятностное пространство {W, G, P} назовем делимым, если для любого измеримого множества ХG и любого положительного числа , меньшего Р(Х), можно указать измеримое множество  такое, что 
	Пример. Пусть  - единичный куб конечномерного линейного пространства, G есть сигма-алгебра борелевских множеств, а P - мера Лебега. Тогда {W, G, P} - делимое вероятностное пространство. 
Таким образом, делимое вероятностное пространство - это не экзотика. Обычный куб является примером такого пространства. 
	Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами, основанными на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара Х тело объема  отделяется соответствующей плоскостью). 
	Теорема 8. Пусть даны случайное множество А на делимом вероятностном пространстве {W, G, P} со значениями во множестве всех подмножеств множества У из конечного числа элементов, и нечеткое множество D на У. Тогда существуют случайные множества С1, С2, С3, С4 на том же вероятностном пространстве такие, что 

где B = Proj A.
	Доказательство. В силу справедливости законов де Моргана для нечетких (см. теорему 1 выше) и для случайных множеств, а также теоремы 5 выше (об отрицаниях) достаточно доказать существование случайных множеств С1 и С2 . 
Рассмотрим распределение вероятностей во множестве всех подмножеств множества У, соответствующее случайному множеству С такому, что Proj C = D (оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество С2 с указанным распределением, независимое от А. Тогда  по теореме 6.
Перейдем к построению случайного множества С1. По теореме 7 необходимо и достаточно определить случайное множество  так, чтобы ProjC1 = D и пересечение носителей случайных множеств  и  было пусто, т.е. 

для  и

для .
	Построим , исходя из заданного случайного множества  Пусть  Исключим элемент у1 из для стольких элементарных событий , чтобы для полученного случайного множества  было справедливо равенство

(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором задано случайное множество ). Для , очевидно,

Аналогичным образом последовательно исключаем у из для всех  и добавляем у в для всех , меняя на каждом шагу  только для  так, чтобы

(ясно, что при рассмотрении  случайное множество  не меняется). Перебрав все элементы У, получим случайное множество , для которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.
	Основной результат о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств дается следующей теоремой.
	Теорема 9. Пусть  - некоторые нечеткие подмножества множества У из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций

где  - символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведение, объединение, сумма (на разных местах могут стоять разные символы). Тогда существуют случайные подмножества  того же множества У такие, что 

и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями

где знак  означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения  случайных множеств, если в определении Bm стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения  случайных множеств, если в Bm стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.
	Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если

то

Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для нечетких множеств, вообще говоря,  ? Дело в том, что хотя в соответствии с теоремой 9 для любых трех нечетких множеств В1, В2 и В3 можно указать три случайных множества А1, А2 и А3 такие, что

где

но при этом, вообще говоря, 

и, кроме случаев, указанных в теореме 2,

	Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При t=1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество А1, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества А2, А3, …, At строим по индукции с помощью теоремы 8. Теорема 9 доказана.
	Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении Bm используются отрицания, точнее, кроме Bm ранее введенного вида используются также последовательности результатов теоретико-множественных операций, очередной шаг в которых имеет вид

А именно, сначала при помощи законов де Моргана (теорема 1 выше) проводится преобразование, в результате которого в последовательности Bm остаются только отрицания отдельных подмножеств из совокупности , а затем с помощью теоремы 5 вообще удается избавиться от отрицаний и вернуться к условиям теоремы 9.
	Итак, в настоящем приложении описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 1970-х годов. Через несколько лет, а именно, в начале 1980-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом. Одна из работ [6] носит примечательное название "Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств". 
В эконометрике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении функций принадлежности по опытным данным и т.д., при этом оказались полезными общие подходы статистики объектов нечисловой природы (см. главу 8 и работы [1,2,5]). Методологические и прикладные вопросы теории нечеткости мы обсуждали в работах [1,2,7]. 

Цитированная литература
 
1. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука,1979.- 296 с.
2. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. - 64 с. 
3. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.
4. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 580 с.
5. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175.
6. Goodman I.R. Fuzzy sets as eguivalence classes of random sets // Fuzzy Set and Possibility Theory: Recent Developments. - New York-Oxford-Toronto-Sydney-Paris-Frankfurt, Pergamon Press, 1982. - P.327-343. (Перевод: Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств. - В сб.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. - М.: Радио и связь, 1986. - С. 241-264.)
7. Орлов А.И. Математика нечеткости. - Наука и жизнь. 1982. No.7. С.60-67.