Пронесшийся недавно над вузами нашей страны ураган набора, вызвавший цунами заявлений, откатившееся опустошающей волной отказов, уносящей с собой администрации некоторых вузов, так или иначе, связан с математическим знанием. В частности, результаты набора в вузы на физико-математические специальности удручают явным отсутствием интереса к математике. Молодежь не видит смысла в математическом образовании. Попробуем найти наиболее общий, т.е. философский, подход к смыслу математического знания и его роли в определении смысла жизни.
Прежде всего, выясним, что такое математическое знание и математическая теория. В общем случае, знание - это потенциальная возможность, актуализация которой истинна. Если истину, в свою очередь, определить как отношение принадлежности исследуемого объекта к некоторому множеству, то теоретическим знанием следует назвать знание о совокупности актуализирующих потенциальные возможности отношений на декартовом произведении множеств всех возможностей, как окружающего человека мира, так и его собственных возможностей. Сущностью теоретического знания являются отношения между элементами, так называемых, основных множеств. В частности, сущностью математики являются отношения точек и чисел, а сама математика, следовательно, есть теория отношения точек и чисел. Отношения точек и чисел исторически и логически привели к открытию координатного метода (Декарт и Ферма) описания пространственных отношений. Координатная система породила понятие декартова (прямого) произведения элементов, сначала, числовых множеств, а затем и множеств элементов произвольной природы. Поэтому, в конечном счете, математика - это отношения точек и чисел на декартовом произведении множеств элементов произвольной природы Отношение соответствия в любой теории выполняется на подмножестве соответствующих пар (кортежей) элементов множества всех возможностей объектов этой теории, т.е. на подмножестве декартова произведения. Если это произведение составлено из элементов потенциальных и актуальных возможностей, то взаимная однозначность соответствия этих возможностей свидетельствует о смысле изучаемого объекта в его сущности.
Теория, как результат культурной деятельности человека наполнена смыслом, алгоритмическими параметрами которого являются: неопределенность мировосприятия N, предопределенность миропонимания В, всеопределенность мировоззрения G и послеопределенность мироосвоения А. Соответствие между множеством полученных a posteriori элементов реальной действительности А и множеством формально возможных a priori абстрактных элементов N устанавливается при выборе языка теории и обозначений и закрепляется понятийным аппаратом на всех этапах построения данной теории. Тогда же возникает и основное множество теории как множество формальной действительности. Его определяет соответствие между формальными возможностями N и элементами формальной действительности G.
Соответствие между А и G задается основными отношениями (аксиомами, постулатами, первичными неопределяемыми понятиями и т.п.) между элементами основного множества. Основные отношения являются теоретической базой для выдвижения гипотезы, построенной a priori на элементах множества реальных возможностей В для описания реальной действительности из А. Соответствие между N и В дает основное содержание теории в виде производных отношений доказательства гипотезы. В свою очередь, с помощью соответствия между В и G определяются инвариантные отношения, т.е. получаются инварианты теории. Инвариантные отношения, полученные на этом этапе, далее переходят в разряд основных отношений теории. Наконец, соответствие между A и В создает отношение классов на основном множестве теории, или классификацию объектов теории по их инвариантным свойствам, что является целью построения любой теории. Более подробно об этом можно прочитать на страницах VIPERSON в нашей публикации "Культура научного поиска".
Однако, созданием структуры отношений для одного только основного множества построение теории не ограничивается и приходится привлекать инвариантные отношения других, так называемых, вспомогательных теорий. Таким образом, в построении математической теории участвуют различные части (области или модели) математики различных структур. При этом их элементы соотносятся с одной и той же "точкой смысла" (проектируются в одну и ту же точку), т.е. рассматриваются в одном и том же смысле, образуя слой над точкой смысла, в котором разные представления (интерпретации-модели) одного и того же объекта имеют один и тот же смысл, соответствуют одному и тому же набору координат-понятий. Для каждой теоретической модели эти наборы отличаются друг от друга носителями смысла, например: для математики - это точки и числа, для философии - явления и сущности, для науки - знания и опыт, для образования - знания и навыки, для техники - способы применения знаний и т.д.
По сути, в чистом виде, предлагаемая здесь парадигма математики - это теория отношений, связывающих различные системы смысловых координат-понятий ее областей. Система смысловых координат является базой расслоенного пространства математической теории. С каждой точкой смысла этой базы связано декартово произведение всех областей математики: алгебраических, геометрических, функциональных и др. Поскольку явление в одной области математики интерпретируется с помощью отношений в других ее областях (горизонтальные связи), то, в целом, за счет таких интерпретаций в каждой точке траектории смысла выстраивается сечение математического расслоения. Это сечение биективно соответствует траектории смысла изучаемого объекта. В конечном счете, получается, что моделью математики является расслоенное пространство отношений точек и чисел на декартовом произведении множеств элементов произвольной природы.
Как воспользоваться моделью математики для определения смысла поступления на математический факультет? Прежде всего, заметим, что каждый из четырех базисных параметров отвечает на свой вопрос. Параметр N отвечает на вопрос ЧТО? Что собой представляет математическое образование? Параметр В - КАК его получить? G - ОТКУДА взять средства? И, наконец, A - ЗАЧЕМ это нужно? Казалось бы, начинать следует с ответа на вопрос ЗАЧЕМ. Но это можно сделать лишь тогда, когда ответишь на три предыдущих вопроса. Пара (N, A) определяет потребности, а пара (В, G) - возможности удовлетворения этих потребностей. Взаимно однозначное соответствие между потребностями и удовлетворяющими их возможностями и есть смысл, причем, не только математического, но и любого другого образования, практической деятельности, человеческих отношений и, в конечном счете, смысл жизни. Об этом и роли математики в определении смысла знания можно прочесть в нашей книге "Философские основания и математическая модель смысла знания", вышедшей недавно в немецком издательстве "Lambert Academic Publishing" на русском языке.
Математическое образование начинается в средней школе. Этот раздел называется "Элементарная математика" и включает в себя доступные на начальном этапе для соответствующего возраста сведения G и способы В получения математических результатов. При этом учитывается и неопределенность мировосприятия N, и будущая послеопределенность мироосвоения А. Математическая теория изучается в вузе. Овладение её средствами G и методами В создает актуальные возможности применения математических знаний на множествах элементов произвольной природы, т.е. в любой сфере человеческой деятельности, о чем и свидетельствуют многочисленные исторические факты и примеры наших дней.
