Основные шкалы в педагогических измерениях

Итгэл Миеэжав

(Монголия, Монгольский государственный университет)

itgel@num.edu.mn

 Опубликовано в ж. Педагогические Измерения» №1, 2010 г. 

В статье рассматриваются типы шкал, широко применяемых в педагогических измерениях, а также  свойства шкал.

Введение в проблему шкалирования

Современные исследования по решению фундаментальной проблемы в педагогике выдвинулы получение информации результатов деятельности. Одним из методов получения объективной информации являются педагогические измерения.

Исследованию проблем педагогических измерений были посвящены работы В.С. Аванесова, С.И. Архангельского, Дж. Гласса, Дж. Зиннеса, Ф.М. Лорда, В.И. Михеева, М. Новика, Д.А. Новикова, И. Пфанцагля, П. Суппеса, С. С. Стивенса, Л.М. Фридмана  и другие.   В.С. Аванесов определяет педагогические измерения как прикладную научную теорию, сформировавшуюся на стыке педагогики, психологии, теории измерений, статистики, математики, логики и философии[1].

С. Стивенс определяет измерение как это процесс приписывания чисел некоторым характеристикам объектов в соответствии с определенными правилами. Эти правила устанавливают соответствие между некоторыми свойствами объектов и чисел, позволяющее сравнивать между собой эти объекты по состоянию измеряемого свойства[2].

В педагогических исследованиях широко используются 4 типы шкал, предложенных С. Стивенсом: номинальные, порядковые, интервальные и отношений.

Общая типология уровней измерения основывается на проявлении совокупности свойств, лежащей в основе построения шкал. В качестве таких свойств выделяют[3]:

• Идентичность, позволяющую однозначно относить объекты к одной из выделяемых совокупностей;
• Транзитивность, способствующую ранжированю объектов в определенном порядке;
• Метричность, обеспечивающую единую единицу измерения;
• Наличие абсолютного нуля.

Педагогические измерения, по мнению В.С. Аванесова,  требуют теоретизации, в которую входят: определение ведущего понятия, уточнение имени измеряемого качества, определение предмета измерения. Важно построить систему индикаторов, понятийных и эмпирических, указывающих на наличие или отсутствие интересующего качества. Далее требуются аксиоматика и математические формализмы, выбор подходящей модели и стандартизация условий измерения. И, наконец, полученные результаты подлежат аргументированной интерпретации [4].

В вопросах, связанных с измерением, основное место отводится понятию шкалы. В.И. Михеев[5] даёт следующее определение: шкалой называется триада S  = <A; R, G>, где А – эмпирическая система с отношениями интенсивностей признака, R – числовая система с отношениями, G – группа допустимых преобразований.

 Рассмотрим свойства этих шкал, перечисляя их в порядке возрастания мощности.

Номинальная шкала.

Общая характеристика. Эта шкала используется для того, чтобы отличать один объект от другого. При этой каждый объект должен попасть в определеный класс, в котором объектом приписывается одно и то же число. Объекты одного класса считаются одинаковыми по состоянию измеряемого свойства. То, что число одного класса больше или меньше другого, еще ничего не говорит о свойствах объектов, за исключением того, что они различаются.

В математическом языке. S0  = <A; R, G0 >. <A; =>, <R; =>, G0 = Map(R,R) – множество отображений R в R. С элементами этой шкалы не допускаются арифметические действия; возможны лишь подсчёт количества объектов с совпадающими признаками.

Примеры из области педагогики. Признаку “Пол” можно соотнести с числами 1 и 0 (мужской и женской, или наоборот). Признаку “цвет глаз”  (по каждому цвету одно число). Кодификация студентов в группах, номер заданий. Выполнившие задание получают число 1, а невыполнившие - 0.

Примеры в других областях. Кодификация специальностей вузов, номера автомобилей, номера футболистов, фамилии учеников и т.п.

На номинальной шкале допустимы следующие математико-статические операции:

• Равно или не равно,
• Частота объектов данного класса,
• Мода изучаемого признака,
• Коэффициент φ (в качестве меры связи двух признаков)

Номинальная шкала иногда называется шкалой наименований.

Порядковая шкала.

Общая характеристика. Эта шкала используется для того, чтобы обнаружить в предметах различие степеней признака или свойства. На данной шкале вводятся числа и отношение “больше - меньше”, поэтому по числу, соответствующему оцениваемому объекту, можно узнать о месте объекта в совокупности. Но равные разности чисел не означают равных разностей в количествах свойств.

В математическом языке. S1 = <A; R, G1 >. <A; =, < >, <R; =, < >, G1 = Map+(R,R) – множество возрастающих отображений R в R. Следовательно, процесс измерения сводится здесь к операции ранжирования системе признаков. Других арифметических действий не допускается над элементами этой шкалы. Но расстояния между объектами не имеют никакого смысла.

Примеры из области педагогики. Классический пример является школьными отметками в баллах (пятибалльная, стобалльна и т.д.), годы обучения (класс, курс). При измерении качества знания педагог, как правило, использует порядковую шкалу[6].

Примеры в других областях. Твердость минералов, сила ветра, награды заслуги, военные ранги, оценки в дзю-до, сортность и т.п. На порядковой шкале допустимы следующие математико-статические операции:

• Больше – равно – меньше,
• Частота объектов данного класса,
• Относительная частота объектов данного класса,
• Размах изучаемого признака,
• Мода изучаемого признака,
• Медиана изучаемого признака,
• Коэффициент Кенделла τ (в качестве меры связи двух признаков)
• Коэффициент Спирмена rS (в качестве меры связи двух признаков)

Порядковая шкала иногда называется шкалой упорядоченной, шкалой классификации, ординальной шкалой и ранговой шкалой.

Интервальная шкала

Общая характеристика. Эта шкала основана на сравнении различий между объектами по величинам измеряемых признаков или свойств. Поэтому существует единица измерения, при помощи которой предметы можно не только упорядочить, но и приписать им числа так, чтобы равные разности чисел, присвоенных объектам, ортажали равные различия в количестах измеряемого свойсва. Нулевая точка этой шкалы произвольна и не указывает на отсутствие свойства.

В математическом языке. Шкала, единственная с точностью до положительных линейных преобразований вида υa,b : φ(x) → ax + b при a>0.   S2  = <A; R, G2 >. G2 = Aff+(R) – группа аффинных преобразований. Для этой шкалы характерно наличие некоторой операции, позволяющей оценивать интервалы измеряемого свойсва. Поэтому над элементами этой шкалы возможны все арифметические действия над числами, кроме операции деления в силу отсутствия абсолютного нуля. В ней определено расстояние между объектами. Таким образом, на интервальной шкале можно определить не только метрики (единицы измерения), но и понятие нормы (местоположения от начала координат).

Примеры из области педагогики. Уровень проявления психических, физических свойств. Классическом примером интервальной шкалы в образовании, обеспечивающей корректную сравнимость результатов измерений, является шкала логитов, построение которой осуществляется на основе теории IRT.

Примеры в других областях. Календарное время, шкалы температур по Фаренгейту и Цельсию. Энергия по квантам и т.п. Для того, чтобы уточнить интервальную шкалу, Д.А. Новиков[7] рассмотривает следующий пример. Шкала Цельсия была установлена следующим образом: за ноль была принята точка замерзания воды, за 100 градусов – точка ее кипения, и, соответственно, интервал температур между замерзанием и кипением воды поделен на 100 равных частей. Здесь уже утверждение, что температура 300С в три, раза больше, чем 100С, будет не верным. Справидливо говоить лишь об интервалах температур – температура 300С на 200С больше, чем температура 100С.

На интервальной шкале допустимы следующие математико-статические операции:

• арифметические действия над числами, кроме операции умножения и деления
• частота объектов данного класса,
• относительная частота объектов данного класса,
• мода изучаемого признака,
• медиана изучаемого признака,
• квантили изучаемого признака,
• среднее арифметическое изучаемого признака,
• дисперсия изучаемого признака,
• коэффициент корреляции Пирсона rxy (в качестве меры связи двух признаков).

Интервальная шкала иногда называется шкалой равных единиц, метрической и нормальной.

Шкала отношений

Общая характеристика. Эта шкала – самая мощная. Она позволяет оценивать -  во сколько раз один измеряемый объект больше (меньше) другог объекта, принимаемого за единицу. Шкала отношений отличается от интервального только тем, что нулевая точка не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемого свойства. Таким образом, числа, присвоенные объектам, обладают всеми свойствами объектов интервальной школы, но, помимо этого, на шкале существует абсолютный нуль. Значение нуля свидельствует об отсутствии оцениваемого свойства. Отношения чисел, присвоенных на этой шкале, отражают количественные отношения измеряемого свойства.

В математическом языке можно выразиться так: шкала, единственная с точностью до положительных линейных преобразований вида υa,0 : φ(x) → ax  при a>0.   S3 = <A; R, G3 >. G3 = R*+ – мультипликативная группа положительных действительных чисел.  На этой шкале можно выполнить все арифметические и статистические операции. Поэтому на шкале  отношений к полученным результатам применимы все известные понятия и методы математической статистики.

Примеры из области педагогики. Время выполнения задания, процения учащихся, количество ошибок или число правильно решенных задач.

Примеры в других областях. Этой шкалой измеряются почти все физические величины – рост, масса, скорость, отсчет времени от начала, линейные размеры, площади, объемы, сила тока, мощность и т.д.

Классическом примером шкалы отношений является температура по Кельвину. В ней можно не только утверждать, что температура на 10 градусов выше, чем 5 градусов, но и что она вдвое выше. Интервальные шкалы (например, шкала Цельсия) не обладают данным свойством шкалы отношения.

На шкале отношений допустимы следующие математико-статические операции:

• арифметические действия над числами,
• частота объектов данного класса,
• относительная частота объектов данного класса,
• мода изучаемого признака,
• медиана изучаемого признака,
• квантили изучаемого признака,
• среднее арифметическое изучаемого признака,
• Дисперсия изучаемого признака,
• коэффициент корреляции Пирсона rxy (в качестве меры связи двух признаков)

В ходе исследования математико-статических операций в этих 4 шкалах были получены следующие результаты:

( + )  - данная операция определена (согласна) в данной шкале,

( - )  - данная операция не определена (согласна) в данной шкале.