Борис Александров родился 13 ноября 1955 года. Он был одним из лучших воспитанников усть-каменогорской школы хоккея.
В своей родной команде в качестве нападающего играл уже в сезонах 1972-73 годов. Играл очень удачно, в результате чего был замечен и приглашен в легендарную команду ЦСКА. Среди его соратников по льду были такие выдающиеся игроки, как Харламов, Петров, Михайлов, Третьяк, Викулов, Цыганков и др.
В мае 1975 года Борис Александров стал впервые чемпионом СССР, затем еще дважды в 1977-78 годах. В ЦСКА провел шесть сезонов, затем в 1980-м играл в СКА МВО, потом в московском "Спартаке" (1980-82 гг.). Кроме трех золотых медалей в Чемпионатах СССР, Борис завоевал три серебряные (1974, 1976, 1982 гг.).
В 1976 году Александров стал Чемпионом зимних Олимпийских игр в Инсбруке, в этом же году участвовал в Кубке Канады в составе сборной СССР. В чемпионатах СССР и МХЛ Борис Александров участвовал в 400 матчах и забил 177 голов.
В 1990 году Александров ушел из большого хоккея, в свободное время играл за студенческую команду "Алиса" (Москва), а также за команду ветеранов "Звезды России". В 1994 году вернулся в усть-каменогорское "Торпедо", где выступал в качестве играющего тренера.
В сезоне-1995-96 был назначен главным тренером "Торпедо" (Усть-Каменогорск) и возглавил сборную Казахстана. Наибольшего успеха главная команда страны под его руководством достигла в 1998 году на Олимпиаде в Нагано (5-е место), где добилась права выступать в группе "А".
До июля 2002 года он был главным тренером усть-каменогорской команды "Казцинк-Торпедо". 31 июля на 47-м году жизни в результате автокатастрофы недалеко от Челябинска мастер спорта международного класса, олимпийский чемпион, заслуженный тренер и деятель культуры Казахстана Борис Викторович Александров трагически погиб. Сейчас на месте трагедии стоит памятник в виде хоккейной шайбы с фотографией Александрова.
Его тренерская биография была сравнительно недолгой. Но можно с уверенностью сказать, что "для него не существовало авторитетов в стане соперника. Он не комплексовал ни перед кем, а мастерство, отвага и темперамент с лихвой компенсировали скромные природные данные. Порой темперамент захлестывал его самого, и сопернику доставалось так, что не позавидуешь" (Леонид Трахтенберг). Будь Александров на льду другим, более сдержанным, хоккейный мир не восхищался бы игроком, у которого был свой неповторимый почерк, характерный для истинного мастера.
