Александр Нариньяни. Недоопределенность в системе представления и обработки знаний

Введение.

Разрабатывая системы, способные адекватным образом воспринимать и использовать данные о все более сложных фрагментах действительности, мы вынуждены развивать формальный аппарат представления знаний и модели усвоения информации, приближающиеся по своим возможностям к процессу понимания у человека. По мере продвижения в этом направлении становится все более очевидным, что информация, с которой должны оперировать наши модели, совершенно не соответствует по своему характеру тем формальным объектам, с которыми имеет дело традиционная математика. Если для последних считаются обязательными определенность, точность, полнота, замкнутость, непротиворечивость и т. д., то новые - антропоморфные - компоненты аппарата представления знаний отражают те свойства человеческой модели мира, которые характеризуются неполнотой, отсутствием точности, незамкнутостью, возможностью противоречий и т. д. На это несоответствие указывалось многими авторами, оно уже привело к появлению ряда новых направлений современной математики. В этом смысле ограничиться одной констатацией несоответствия - значит не сказать ничего нового. Необходимо его анализировать, пытаясь выявить те факторы, которые недостаточным образом отражаются с помощью имеющихся формальных средств или не обслуживаются ими вообще. Только отчетливое представление о месте каждого из этих факторов в модели понимания, сходстве и содержательном различии их функций позволит решать вопрос о развитии соответствующего формального аппарата или адекватном использовании существующих математических средств.

При написании этой работы автор ставил перед собой несколько целей. Ее главная задача - рассмотрение недоопределенности как одного из наиболее важных компонентов системы знаний. В связи с этим основное содержание статьи посвящено обсуждению постановки задачи (пп.2, 3), исследованию алгебраических и логических аспектов предлагаемого подхода (пп. 4, 5, 6), его возможного развития и обобщения (п.7), а также демонстрации конкретных примеров формального аппарата, обеспечивающего представление и обработку недоопределенных значений переменных разных типов (п.8). Однако прежде чем перейти к основной части, мы кратко рассмотрим в следующем разделе номенклатуру упомянутых выше новых факторов, - это позволит несколько более конкретно обсудить проблему в целом, а также уточнить наше представление о месте недоопределенности в общей картине.

1. НЕ-факторы.

Введение нового термина часто оказывается полезным даже на той стадии рассмотрения проблемы, когда область его приложения еще не может быть определена достаточно отчетливо. Не имея возможности перечислить исчерпывающим образом новые компоненты модели понимания и заранее отказываясь от точности и полноты определения даже тех из них, которые будут рассмотрены ниже, автор тем не менее рискует предложить общий термин для этих компонентов, называя их НЕ-факторами. Причина выбора такого названия очевидна: основной общей чертой этих совершенно различных по своей природе факторов является то, что каждый из них отражает компонент модели понимания, являющийся содержательно, а часто и лексически, отрицанием одного из упомянутых классических свойств формальных систем: полноты, определенности и т. д.

Называя эти понятия общим именем, мы не утверждаем тем самым, что все они представляют собой явления одного порядка. Мы просто не готовы сейчас обсуждать модель понимания, включающую каждый НЕ-фактор на своем месте. У данного раздела гораздо более скромная задача: рассмотреть некоторую совокупность НЕ-факторов в сопоставлении друг с другом, что позволяет, как кажется, уточнить (на неформальном уровне) специфику и сферу действия каждого из них, давая возможность более адекватным образом формировать требования к соответствующим формальным средствам.

НЕ-факторы отражают аберрации, возникающие во всякой системе знаний ввиду фундаментального различия между объективной реальностью и ее моделью. Отражая это различие - различие между оригиналом и его аппроксимацией, - каждая развитая модель должна строиться с учетом ее врожденных свойств: принципиальной неполноты и принципиальной возможности ошибок и противоречий.

1.1. С неполнотой всякой текущей системы знаний связано, по крайней мере, три НЕ-фактора.

А. Н е д о о п р е д е л е н н о с т ь общих знаний: каждая типовая сущность в комплексе общих знаний о мире представляется, как правило, не одной аппроксимацией, а системой аппроксимаций. Например, во фразе: Астероид (1), представлявший собой неправильной формы каменный монолит (2) диаметром более ста метров (3), находился от спутника километрах в пятнадцати (4) один и тот же элемент действительности трактуется как реальный объект (1), с которым связаны все наши знания, ассоциируемые с понятием астероид (сложная поверхность, структура, химический состав, траектория и т. п.), как существенно более простой обобщенный объект (2), еще более простой квазишар (3) и, наконец, точка в пространстве (4). Хотя в данном случае речь идет о конкретной сущности, наша модель астероида готова к такому совместному использованию разных уровней огрубления этого понятия. Попытка наметить способ представления недоопределенности этого типа сделана в [1], где для объектов, включенных в рассматривавшуюся модель пространства, предлагалось дополнить общий фрейм неэлементного понятия системой упрощенных фреймов-заместителей. Более конкретным примером реализации структурной недоопределенности понятия является фрейм последовательности временных интервалов, предложенный в [2, 3] и реализованный в системе ВРЕМЯ-1 [4].

Б. Н е д о о п р е д е л е н н о с т ь к о н к р е т н ы х з н а н и й: в общем случае доступная информация о фрагменте реальности является неполной даже в рамках фиксированной системы общих знаний. Эта неполнота может касаться типов объектов (то ли мышь, то ли сурок), значений величин (метров тридцать пять - недоопределенное расстояние, человек девять из вашего класса - недоопределенное множество), отношений между ними и т. д.

Поскольку недоопределенность именно этого типа является темой нашего дальнейшего рассмотрения, мы не будем здесь останавливаться на ней более подробно.

В. Н е о д н о з н а ч н о с т ь з н а н и й, т. е. текущий модели конкретного фрагмента действительности, являющаяся результатом недоопределенности этой модели, приводит к необходимости принимать решения в условиях неопределенности. Например, делать ход в игре при неполной информации о картах противника. Принятие решений в условиях неопределенности требует оценки имеющихся альтернатив - эта проблематика является одной из наиболее интенсивно исследуемых. Известны классические подходы: теория вероятностей (оценка на основании объективного прошлого опыта), экспертные оценки (оценка на основании субъективного опыта эксперта), минимаксные стратегии (оценки по возможному результату). В связи с моделированием понимания естественного языка и субъективного восприятия информации появились многочисленные работы, направленные на создание аппарата оценки правдоподобия альтернативных утверждения о действительности.

1.2. Еще три НЕ-фактора отражают приблизительность модели, приводящую к возникновению ошибок, искажений и противоречий.

Г. Н е к о р р е к т н о с т ь м о д е л и. Ошибки и искажения в данных, поступающих на вход Системы, а также ошибки самой Системы, т. е. ошибки моделирования (ошибки аппроксимации); ошибки интерпретации входных данных; ошибки встроенных в Систему знаний, включая правила вывода и/или вычислений, приводят к нарушению соответствия между фрагментом реальности и представляющей его моделью, к возможности получения несовместимых (противоречивых) заключений внутри Системы.

Аппарат представления знаний должен включать средства контроля достоверности информации и заключений, правильности модели и т. д. Мы не имеем возможности останавливаться здесь на различных подходах к этой проблеме: поскольку пашей задачей в данной работе является исследование другого НЕ-фактора - недоопределенности конкретных знаний,- мы полагаем далее поступающую на вход Системы информацию и используемые ею средства представления знаний достоверными. Некоторые соображения о связи недоопределенности и некорректности будут обсуждаться в разделе 6.

Д. Н е т о ч н о с т ь, или, скорее, конечная точность реальных величин, связана с неизбежной ошибкой аппроксимации. Эта неточность выступает как свойственная физическим величинам от природы, по контрасту с недостаточной точностью измерения, которая есть недоопределенное описание величины более точной, чем наши данные о ней. Например, ширина бруска, изготовленного даже с помощью самой прецизионной технологии, может быть указана только с точностью до разброса, вызванного несовершенством обработки боковых поверхностей; однако оценки разброса тоже не могут быть точными хотя бы за счет теплового колебания атомов материала бруска, амплитуда которого, в свою очередь, не может быть указана точно ввиду ее статистического характера и т. д. Таким образом, каждая модель-аппроксимация определяет размеры ошибок (или допусков, как говорят в технике), вводимых ею параметров. Попытка установить соответствие между системой аппроксимаций и системой ошибок была сделана в уже упоминавшейся работе [1], однако по уровню проработки это, скорее, постановка проблемы, чем обсуждение идеи формального аппарата.

Кажется, что аппарат недоопределенных типов данных, позволяющий работать с не полностью известными (недоопределенными) величинами, в какой-то мере может обеспечить и обработку неточных величин, поскольку и здесь и там мы имеем дело с ограниченной точностью значений,- вся разница в том, что в первом случае - это ограниченная точность представления, а во втором - ограниченная точность оригинала.

Е. Н е ч е т к о с т ь - фактор, породивший бурно развивающееся направление нечетких (fuzzy) формализмов, начатое известной работой Л. Заде [5]. Он связан с отсутствием точных границ области определения, свойственным большинству, если не вообще всем понятиям. Эта размытость (нечеткость) границ применимости понятия приводит к тому, что в общем случае оказывается невозможным решать вопрос о соответствии данного понятия и данной сущности по принципу да/нет. Fuzzy-подход предлагает в каждом случае говорить о функции принадлежности, т. е. о степени соотнесенности одного другому, оценивая ее в интервале от 1 (определенное да) до 0 (определенное нет). Следует отметить, что fuzzy-формализмы, развивавшиеся до последнего времени опережающими темпами, часто пытаются использовать для работы с многими из перечисленных выше НЕ-факторов, не всегда отдавая себе отчет в совершенно различной природе каждого из них. Представляется, что в большинстве случаев это вызвано недостаточно четким осознанием содержания функции принадлежности нечеткого понятия. Функция принадлежности не имеет определенной, присущей eй самой семантики, она получает семантическую интерпретацию в зависимости от области приложения, которая и определяет выбор соответствующего аппарата. Отсюда следует очевидный вывод о том, что не может быть fuzzy-аппарата вообще, самого по себе, что возможны лишь различные формальные fuzzy-системы, описывающие (с различной степенью успеха) неопределенность, неточность, нечеткость и т. д.

Исследования самого последнего времени, стимулированные в значительной степени работами С. Чеснокова (см., например, [6]), привели автора к уверенности, что семантика нечетких понятий должна моделироваться не с помощью статических функций принадлежности, как при традиционном fuzzy-подходе, а с помощью системы недоопределенных интервалов (см. п. 8.2). При этом модель приобретает естественность, динамику, прозрачность и эффективность, отсутствие которых полностью (с кашей точки зрения) обесценивает fuzzy-аппарат. Однако предельный объем и вводный характер настоящей статьи не позволяет включить в нее более развернутое обсуждение этого вопроса.

1.3. Завершая наш краткий обзор, следует отметить, что большая часть из упомянутых НЕ-факторов представляет собой не один, а целую серию факторов, хотя и отражающих тесно связанные явления, но достаточно различных по своей природе (см., например, раздел 6, где в совокупности явлений, обозначенных в п. 1.2(Г) как некорректность, выделяются самостоятельные компоненты, названные некорректность-1 и переопределенность). Добавим также, что наш список не претендует на полноту, для примера упомянем еще два не включенных в него фактора: непроцедурность и недетерминизм (их взаимосвязь и качественное различие хорошо известны). Очевидно, что более тщательный анализ как всей системы НЕ-факторов, так и каждого из них в отдельности требует специального исследования.

2. Общие понятия.

В данном разделе мы введем некоторые предварительные понятия, которые позволят нам перейти далее к более точному определению Системы, оперирующей с неполной конкретной информацией.

2.1. Рассмотрим модель Т, определяемую множеством Х переменных и множеством R отношений на этих переменных. Каждой из переменных хХ сопоставлена область значений, являющаяся подобластью универсума U. Областью значений произвольной совокупности переменных X`X будем называть декартово произведение областей значений всех переменных совокупности Х`. Каждое т-арное (т=1,...) отношение rR, связывающее переменные Х`=(xi1,..., xim), есть подмножество области значений X`.

В рамках конкретной модели Т=(Х, R) каждое отношение r(Х`) может трактоваться расширенно: не только как подмножество области значений X`, но и как подмножество области значений X, включающее все значения X, проекция которых на X` принадлежит r. Это позволяет все отношения модели рассматривать как отношения, определенные на всей области значений X.

Пусть модель Т= (X, R) есть описание некоторого фрагмента действительности, в котором переменные из Х представляют конкретные величины (константы), являющиеся характеристиками реальных объектов. Реальную величину, представляемую переменной х, будем называть денотатом этой переменной, а саму ее - сигнификатом соответствующего денотата. (Понятие денотата и сигнификата являются проекцией на нашу задачу аналогичных понятий, введенных в классической работе [7].) Совокупность денотатов переменных произвольного подмножества X`X будем называть денотатом этого подмножества, а денотат всего множества Х - денотатом модели Т. (Денотат модели в нашем случае - это вектор реальных величин, описываемых переменными X.)

Таким образом, в модели Т реальная величина-денотат, т. е. константа, описывается переменной. Такова обычная практика: в математике множество переменных-сигнификатов связывается системой отношений (уравнений, неравенств и т. д.), которая лишь в случае ее полноты позволяет определить точные значения величин-денотатов.

2.2. Каждому отношению r из R, связывающему переменные X`X, сопоставим взаимно однозначно предикат Р(Х`) (r и Р будем называть взаимно сопряженными), определяемый на множестве значений X` и принимающий значение ИСТИНА на множестве r. Моделью Т однозначно определяется предикат

, (2.1)

Сопряженное предикату РТ отношение на Х обозначим RT.

Будем говорить, что модель Т является правильным описанием своего денотата D, если D RT (т. е. РТ(D) = ИСТИНА).

Будем говорить также, что модель Т`=(X`, R`) является более точной, чем модель Т"=(Х", R"), если между переменными множеств X` и X" можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что с точностью до него имеет место RT` RT": модели Т` и Т" равны по точности, если при тех же условиях RT`=RT"; модель Т является точной, если RT содержит только один набор значений переменных X; модель Т является противоречивой, если RТ=.

2.3. Везде далее будем полагать ради простоты изложения, что все переменные модели имеют одну и ту же область значений, которую обозначим А.

Рассмотрим произвольное отношение r`(x1,..., xm). Очевидно, что имеет место следующая импликация:

Р` (x1A1`)... ( xmAm`), (2.2а)

где Р`- предикат, сопряженный с r`, a A`i - проекция r` на переменную xi.

Естественно, то же самое относится к предикату РТ:

("i 1 i т)РТ ( xi A`i),

где A`i - проекция RT на переменную xi. Для нас весьма существенно, что данное выражение полностью определяет ту информацию, которую в рамках модели Т мы можем получить о значении каждой переменной в отдельности.

Обозначим *А множество всех подмножеств А без пустого; элементы *А, т. е. непустые подмножества А, будем обозначать *а. Каждой переменной xi Х модели T=(X,R) сопоставим взаимно однозначно переменную *xi с областью значений *А. При этом переменным Х будет соответствовать совокупность *Х всех переменных *xi и отношению RT(X) - отношение *RT(*X), содержащее только один набор *a1,..., *an, а именно, тот, в котором каждое значение *аi, равно проекции отношения RT на переменную xi. (Таким образом, проекция *RT на переменную * xi, равна проекции RT на переменную xi, хотя в первом случае она является единственным значением *х, а во втором - подмножеством значений xi.) Те значения *a, которые включают лишь один элемент из A, будем называть точными, а остальные - недоопределенными. Значение *а, равное А, будем называть полной неопределенностью и обозначать .

На множестве *An введем частичный порядок по точности:

(*а1`,..., *an`) (*a1",..., *an")" ("i, 1 i n)*ai` *ai",

("b, с*An)b>с" bс bс.

Очевидно, что порядок по точности задает нижнюю полурешетку на множестве всех значений *х с вершиной, представляющей собою n-ку, все элементы которой равны полной неопределенности .

Недоопределенным описанием, или н-описанием, будем называть набор (T, h), где Т есть модель (X={x1,..., xn}, R), а h=(*a1,..., *an) -кортеж из п недоопределенных значений, удовлетворяющий условию (2.2.б):

h *RT. (2.2б)

Н-описание (Т,h) будем называть идеальным, если для него выполняется условие (2.2.в):

h=*RT. (2.2в)

Введенные выше понятия дают нам возможность перейти в следующем разделе к обсуждению формального представления Системы, перерабатывающей информацию в условиях недоопределенности конкретных данных о моделируемом фрагменте реальности.

3. Недоопределенная система как автомат.

3.1. Рассмотрим произвольную Систему, в которой отображается информация о фрагменте действительности W (в процессе работы Системы фрагмент W не меняется в том смысле, что все фактические величины-денотаты в W остаются постоянными). В общем случае Система располагает неполной информацией о W, причем эта неполнота может быть результатом сочетания нескольких факторов:

(1) отсутствием информации о существовании в W некоторых величин-денотатов;

(2) недостаточной определенностью информации о значениях некоторых денотатов для выбора типа данных представляющих их переменных-сигнификатов:

(3) отсутствием или приблизительностью информации о величине того или иного денотата в рамках области значений, определенной типом данных его сигнификата;

(4) отсутствием информации о наличии части отношений;

(5) приблизительностью данных о характере того или иного отношения.

В процессе работы Система получает новые сообщения о W, которые пополняют и уточняют имеющиеся данные. Это может происходить как за счет явной информации о существовании денотатов, об их значениях и отношениях между ними, так и за счет вывода и/или вычислений, использующих следствия, которые вытекают из взаимодействия явной информации текущего сообщения и уже имеющейся в Системе информации, полученной из предыдущих сообщений.

Стремясь к максимальному упрощению дальнейшего рассмотрения, мы примем ниже следующие ограничения: Система с самого начала своей работы знает о существовании всех денотатов в описываемом фрагменте W; все сигнификаты, представляющие денотаты области W, имеют один и тот же тип данных, т. е. одинаковую область значений; если Системе сообщается о наличии какого-либо отношения, то характер этого отношения полностью определен.

Таким образом, мы исключаем факторы (1), (2) и (5) из рассмотрения. Ниже в данном разделе, а также в разделах 4 и 5 будет исследоваться влияние факторов (3) и (4) на работу Системы при принятых выше ограничениях. Возможность учета фактора (5) при снятии соответствующего ограничения будет кратко рассмотрена в разделе 7.

3.2. Будем рассматривать нашу Систему как автомат, состояниями которого являются н-описания, а входным алфавитом - сообщения, представляющие собой отношения из некоторого множества R.

Более точно, Система С задается набором

X, RR, S, ОБРАБОТКА, ВВОД,

где Х - есть конечное множество переменных; RR - конечное множество отношений на X, воспринимаемых С в качестве сообщений; S - множество состояний Системы, т. е. н-описаний вида (X, R, h), где RRR (согласно ограничению предыдущего раздела, первая составляющая всех состояний Системы равна X); во множестве S выделяются подмножества Sk и S!, к первому относятся все состояния, в которых h состоит только из точных (единичных) значений, ко второму - те состояния, в которых h содержит хотя бы одну пустую составляющую; ОБРАБОТКА - однозначное отображение S в S такое, что для всякой пары (s, s`) ` ОБРАБОТКА (s)=s` имеет место:

(R`=R)/(h`h)/(ОБРАБОТКА(s`)=s`);

таким образом, это отображение выделяет в S подмножество S0 состояний, для которых справедливо s=S0"ОБРАБОТКА(s)=s, при этом, как очевидно, ОБРАБОТКА является отображением S в S0. ВВОД - однозначное отображение SXR в S такое, что для всякой тройки (s, r, s`)`ВВОД (s, r)=s` имеет место R`=Rr/h`=h;.

В каждом текущем состоянии s Система находится в одном из четырех режимов: ввод, обработка, конец, противоречие!. Входные сообщения воспринимаются Системой только в режиме ввод. Входное сообщение r, полученное Системой в состоянии s=(X, R, h) переводит ее в состояние s`=ВВОД (s), т. е. в (X, Rr, h), и режим обработка. При этом режиме Система переходит из текущего состояния s в состояние s`=ОБРАБОТКА (s) и новый режим, определяемый следующим правилом:

если s`Sk, то режим = конец;

если s`S!, то режим = противоречие!;

если s`SkS!, то режим = ввод.

Режимы конец и противоречие! приводят к остановке Системы.

Таким образом, если за начальное состояние Системы принять идеальное состояние (X, , h), где , и исключить возможность повторения одинаковых сообщений, то всякая последовательность режимов Системы при достаточном числе k сообщений на ее входе есть конечная цепочка вида:

(ввод, обработка)k (конец/противоречие!).

Нетрудно видеть, что если описанный детерминированный автомат заменить недетерминированным, в котором режим ввод не всегда переходит в режим обработка, как описано выше, а может случайным образом переходить в режим обработка либо сохраняться, наша Система получит возможность обрабатывать входные сообщения не только индивидуально, но и пакетами, т. е. порождать цепочки режимов вида

((ввод)k1 обработка)k2 (конец/противоречие!).

3.3. Будем называть Систему однозначной, если для каждой пары состояний (X, R, h) и (X, R`, h`), являющихся результатом операции ОБРАБОТКА, справедливо R=R`h=h`.

Таким образом, значение составляющей h для состояний, полученных в результате вывода, в том числе для состояний, соответствующих режимам конец и противоречие!, в однозначной Системе не зависит от того, в каком порядке поступали сообщения из R на ее вход и, следовательно, она реализует отображение *RR*An, где *RR - множество всех непустых подмножеств множества RR и п - число переменных в X.

Будем называть Систему максимальной, если в ней для каждого состояния, явившегося результатом операции ОБРАБОТКА, выполняется условие h=*RT, т. е. оно является идеальным. Очевидно, что максимальная, система всегда однозначна.

Для однозначных Систем, определенных на Х и RR. введем отношение частичного порядка по мощности вывода: системы С` и С равны по мощности вывода, если каждому RRR они сопоставляют одинаковый вектор h; система С` реализует более мощный вывод, чем система С, если они не равны по мощности вывода и для каждого RRR справедливо h`h. Таким образом, однозначные Системы, определенные на X и RR, образуют решетку, верхней гранью которой является максимальная система, а нижней - тривиальная Система, отображающая всякое RRR в .

3.4. Дадим содержательную интерпретацию введенных выше понятий. Пусть некоторая информационная система получила на вход сумму сообщений, образуемых в совокупности модель Т=(Х, R). Если система является пассивной, т. е. не обладает способностью выполнять вывод/вычисление, но на вопрос чему равно значение переменной xi? (каков денотат переменной xi?) система в общем случае сможет дать лишь ответ вида xiА`; где

A`=ri1... rik

(ri1,..., rik.) суть все унарные отношения на xi, содержащиеся в R. Очевидно. что если таковых в R нет, то А`=А). Однако, как мы знаем, информация, содержащаяся в модели, позволяет определить значение xi, с точностью до проекции на нее отношения RT. Нашей задачей является рассмотрение в общем виде систем, обладающих в той или иной степени способностью извлекать из модели Т информацию о возможных для данной Т значениях переменных из X. Чем лучше умеет это делать система (чем более мощным аппаратом вывода она обладает), тем ближе будет определенная ею область возможных значений каждой переменной к проекции на эту переменную отношения RT.

Совокупность полученных в процессе вывода унарных отношений представляется составляющей h. Совместно эти отношения образуют отношение на множестве X, являющееся декартовым произведением элементов h, т. е. n-мерным параллелепипедом, в который вписано отношение RT. Для пользователя, возможности которого получать информацию от Системы ограничены запросами рассматриваемого вида, составляющая h представляет всю доступную ему информацию. Следует заметить, что Систему исследуемого здесь типа, т. е. способную делать недоопределенный вывод (уточнять недоопределенные значения сигнификатов на основании задаваемой извне модели), можно представлять как часть интегральной базы знаний, в которой она дополняет другие средства представления и обработки данных и знаний (например, декларативные, продукционные и др.).

Реализация вывода/вычислений на моделях связывается обычно с необходимостью интерпретации каждого отношения r(X`) множеством функций, позволяющих по известным значениям части переменных X` (аргументы данной функции) вычислить значения остальной части этих переменных (результаты). Например, отношение

еa-2b2+с+7=0,

связывающее переменные а, b и с, интерпретируется тремя функциями:

a:=ln (2b2-c-7); b:=((еa+с+7):2)1/2; c:=2b2-e+7.

Однако при недоопределенности значений переменных функции интерпретации становятся функциями не от переменных X, а от переменных *Х. Исследование свойств таких функций (оно будет проведено в разделе 5) требует введения и исследования операций над неопределенными значениями, к которым мы и переходим.

4. Операции над недоопределенными значениями.

4.1. Будем рассматривать произвольную алгебру Q=(A, F) на классе объектов А, замкнутом относительно множества F унарных, бинарных и т. д. операций.

Сопоставим Q недоопределенную алгебру *Q (будем называть ее н-расширением Q) следующим образом: классом объектов алгебры *Q является *А; операции алгебры *Q (обозначим их совокупность *F) получены расширением на *А операций множества F, причем расширение всякой m-местной операции f из F есть m-местная операция *f, результат применения которой к произвольному кортежу из т элементов *А определяется согласно следующей формуле

(4.1.а)

Другими словами, результат операции *f для кортежа из т произвольных элементов класса *А есть множество значений - результатов применения операции f ко всем элементам декартова произведения компонентов этого кортежа. Очевидно, что для всякого кортежа, все компоненты которого - точные, т. е. принадлежат А, результаты операции f и *f совпадают.

П р и м е р. Пусть f - двухместное сложение, тогда результат применения н-расширения f к паре значений *а1={1, 2}, *а2={1, 4, 5} определяется по формуле (4.1.а) следующим образом:

*f(*a1, *a2)={a=f(a`, a")`(a`, a"){l, 2}5{1, 4, 5}}.

Декартово произведение равно

{1,1; 1,4; 1,5; 2,1; 2,4;2,5},

таким образом,

*f(*a1,*а2) ={2,5,6,3,7}.

Очевидно, что расширенные операции являются замкнутыми на *А и сохраняют коммутативность и ассоциативность в тех случаях, когда эти свойства имели место у исходных операций.

Однако в *Q сохраняются не все свойства операций алгебры Q. Покажем это на примере: пусть f содержит унарную операцию, которую мы назовем отрицанием и обозначим , и f - произвольную двухместную операцию с единицей ЕА такие, что для и f выполняются при всяком а из A следующие условия:

((a)) =а и f(a,(a)) =E.

Как очевидно из (4.1.а), для расширенных * и *f при каждом *а из *А будет иметь место:

*(*(*а))=*а, но E*f(*a, *(*a)). (4.1.б)

Например, для того же сложения и отрицания при *а={1, 2} выполняется:

*(*а)={-1, -2} и *f({1, 2}, {-1, -2}) ={0, 1, -1}.

Итак, алгебраические свойства операций в Q могут существенным образом меняться при н-расширении.

Ниже мы будем опускать звездочки у символов н-расширений операций, если контекст использования символа всегда однозначно определяет, какая операция/функция (исходная или н-расширенная) имеется в виду.

4.2. В тех случаях, когда элементы конечного класса А рассматриваются как альтернативы, отрицание любого из них означает возможность всех остальных. Соответствующая операция, которую мы назовем отрицанием альтернативы и обозначим d, должна, таким образом, определяться как

d(a)=Aa. (4.2)

Очевидно, что это операция, кроме случая *А=2, не замкнута на А, но ее н-расширение замкнуто на *А. При этом мы обнаруживаем, что, согласно (4.1.а), для всех *а, кроме точных, результат d(*a) равен полной неопределенности.

В некоторых случаях элементы множества *А выступают как подмножества альтернатив, определяемых элементами множества А. Соответствующая операция на *А, которую мы назовем н-дополнением и обозначим g, определяется как

g(*a)=A*a.

Очевидно, что g будет совпадать с d на множестве точных значений и будет замкнутой на множестве (поскольку и *A). Нарушение замкнутости операции g на значении имеет понятный содержательный смысл: отрицание всех альтернатив класса А нарушает подразумеваемое условие полноты А как множества всех допустимых альтернатив - в случае конечного A это условие обеспечивается законом исключенного (k+1)-го, где k=#A.

Отметим, что из двух введенных в данном пункте отрицаний только для второго (т. е. н-дополнения) выполняется правило двойного отрицания g(g(*a))=*a, поскольку для любого *a, как очевидно, имеет место .

4.3. Далее мы будем рассматривать н-расширение булевой алгебры Q-(A,F).

Может показаться, что существует значительное сходство между н-расширением булевой алгебры и алгеброй классов, поскольку и в том, и в другом случае классом объектов является множество всех подмножеств А, на котором определяются сумма и произведение. Однако сходство это чисто внешнее - легко убедиться, что алгебра классов на А и н-расширение булевой алгебры на А в известной степени противоположны по своим свойствам.

Так, операции пересечения, объединения и дополнения образуют булеву алгебру (алгебру классов) на множестве А, дополненном пустым подмножеством, но не являются булевой алгеброй на А, более того, даже не являются замкнутыми на А. По контрасту с этим, н-расширение булевой алгебры на А не является в общем случае булевой алгеброй, поскольку для него не сохраняется, например, свойство идемпотентности.

Действительно, как следует из (4.1.a): a f(*a,*a), f{,}, причем равенство будет выполняться только для тех *a, которые представляют собой подмножества A, замкнутые относительно f. Отсюда следует, что свойство идемпотентности для н-расширения будет выполняться только при алгебре с полностью упорядоченным множеством А.

Кроме того, *А не содержит пустого множества, причем нулем и единицей для *Q являются ноль и единица исходной Q, в то время как в алгебре классов нулем является пустое множество, а единицей - полное. Соответственно (*a, 1)=1 и (*а, 0)=0, хотя, согласно 4.1.6, имеет место: 1 (*a, (*a)) и 0(*a, (*a)).

Упорядочение элементов А в Q по логическому отношению включения: ab(ab=a)(ab=b) расширяется на *Q.

При этом для *а*b необходимо и достаточно, чтобы для всякой пары (a, b)*аХ*b имело место: (аb*a)(аb*b), необходимым условием чего является требование: sup (*a)sup (*b)inf (*a)inf (*b).

4.4. Причина нарушения некоторых свойств операций, возникающего при переходе от алгебры Q к ее н-расширению *Q, лежит в принципиальном различии интерпретации понятия значения в Q и *Q.

Свойства операции и в том, и в другом случае определяются тем, что они (операции) служат для спецификации функций: для алгебры Q - функций от переменных с областью значений А, для *Q - функций от н-переменных с областью значения *А. При этом значение обычной переменной-сигнификата может быть либо равно денотату, либо полностью неопределенно. А для н-переменной *х утверждение *x=*a имеет смысл точное значение (денотат), представляемое переменной x, принадлежит значению *а.

Таким образом, из равенства текущих значений двух н-переменных следует не равенство денотатов этих переменных, а лишь равенство недоопределенности описаний этих денотатов. Равенство денотатов следует из равенства значений в *Q только в том случае, когда эти значения точные. На уровне алгебры у нас нет возможности различать равенство денотатов, описываемых одним и тем же недоопределенным значением, от равенства недоопределенностей этих описаний. Естественным средством отражения этого различия является введение переменных и переход от операций к функциям.

5. Функции над недоопределенными переменными.

5.1. Пусть Q=(A, F) -произвольная алгебра, а X={x1,..., xn} -множество переменных, принимающих значения из A. Проведем н-расширение алгебры Q и сопоставим каждой xi из X н-переменную *xi, с областью значении *А. При этом результат применения всякой m-местной операции *f из *F к значениям переменных *xi1,..., *xim при *хij=*аij, 1
Достаточно очевидна справедливость следующего утверждения:

У.5.1. Если значения двух произвольных m-местных операций f` и f" равны для всякого набора т значений из А, то для любого сочетания переменных *xi1,...,*xim имеет место

f`(*xi1,...,*xim) = f"(*xi1,...,*xim)

Из У.5.1 следует, что все свойства операций алгебры Q, которые выполняются на области значений А, переносятся на соответствующие функции для н-переменных. В частности, для булевых функций имеют место, например, следующие утверждения:

(*x, *y) = (*x), (*y)),

(*x, *х) = (*х, *х) =*x и т. д.

Из последнего следует, что свойство идемпотентности, нарушавшееся, как мы видели, на уровне н-расширения булевой алгебры, сохраняется для булевых функций от н-переменных.

5.2. Пусть значения переменных xi1,..., xim связаны отношением r`. В этом случае значение функции *f(*xi1,..., *xim) при *xij=*aj, 1jm, вычисляется по формуле (5.1.а):

(5.1.a)

Из формулы (5.1.а) следует справедливость утверждения У.5.2, являющегося расширением утверждения У .5.1.

У.5.2. Если для всякого b набора т значений из А имеет место Р(b)f`(b)=f"(b), то для любого сочетания переменных *x1,..., *xm связанных сопряженным Р отношением r справедливо

*f`(*x1,...,*xm)= f"(*x1,...,*xm).

П р и м е р. Пусть х и у связаны отношением r; как очевидно, значение двухместной функции f(*x, *y) при условии, что r есть отношение у=f`(х), определяется для *х=*а и *у=*b по формуле (5.1.б):

*f(*a, *b)={f(a, f`(a))`a*a}. (5.1.б)

В частности,

(1). Если r` есть х=у. то из (5.1.б) еще раз следует сохранение свойства идемпотентности на уровне функций от н-переменных, а также тот факт, что *х*х имеет значение ИСТИНА для всех трех значении (ИСТИНА, ЛОЖЬ, {ИСТИНА, ЛОЖЬ}) в н-расширении двузначных булевых функций. Напомним, что *а*а, согласно (4.1.а), для *а={ИСТИНА, ЛОЖЬ} имеет значение {ИСТИНА, ЛОЖЬ}.

(2). Если r есть x=(y), то из (5.1.б) следует (*x, *y)=1 и (*x,*у)=0.

5.3. Утверждение У.5.2 может быть еще раз обобщено.

У.5.3. Если на всей области значений, определяемых множеством отношений R для множества переменных X, имеет место

Y (f1(X1),...,fk(Xk))=истина,

где f1,..., fk произвольные функции от подмножеств переменных X1,...,XkX, а Y - произвольная функция, отображающая Аk в {ИСТИНА. ЛОЖЬ}, то соответственно справедливо и

*Y (*f1(*X1),...,*fk(*Xk))=истина.

Таким образом, в частности, для н-расширения сохраняет свою силу. любая бинарная импликация f`(X`)f"(X"), имеющая место в исходной системе. Это обеспечивает переносимость результатов любых исчислений n-значных функций на н-расширение этих функций, в частности, переносимость результатов стандартных исчислений высказываний и предикатов на соответствующие н-расширения.

Все вышесказанное дает нам право утверждать, что для реализации недоопределенного логического вывода и вычислений (т. е. вывода и вычислений, оперирующих с функциями от недоопределенных переменных) возможно прямое использование аппарата вывода/вычислений, оперирующего с исходными функциями, которые, как мы помним, служат для интерпретации отношений модели Т.

Однако прежде чем перейти к обсуждению конкретных методов организации вывода вычислений в моделях с недоопределенными значениями, мы остановимся кратко на возможности использования н-аппарата для учета других НЕ-факторов в системах представления и обработки знаний.

6. Недоопределенность и некорректность.

В разделе 1 были указаны некоторые причины возникновения противоречий в Системе, в том числе недостоверность данных на входе, ошибки самой Системы (случайные или встроенные), а также ошибки аппроксимации, связанные с огрублением представления денотатов и отношений между ними в Системе по сравнению с их реальной, т. е. доступной наблюдению сложностью. В данном разделе мы рассмотрим два типа некорректных ситуации в Системе, связанных соответственно с использованием не всюду определенных функций и с возможностью противоречий при определении значений переменных.

6.1. Рассмотрим формальную систему Q=(A, F), включающую не всюду определенные операции. Если m-местная операция f из F не является всюду определенной, то для нее существуют такие m-ки элементов из A, что значение f при этих наборах не определено. Построим расширение Q` системы Q, добавив к А новое значение, которое вслед за другими авторами будем называть абсурдом. Операции из Q` являются расширениями операций из Q, сохраняющими свои значения на А там, где они были определены, и получающие значение абсурд на тех m-ках значений из А, на которых они определены не были. Определение значений операций на т-ках, включающих новое значение, делается индивидуально, с учетом содержания соответствующей операции.

Существенно отметить, что если переход к абсурдному расширению нужен для построения системы контроля возникновения абсурдных ситуаций в Системе, то в общем случае может потребоваться несколько разных значений абсурд для дополнения различных операций или даже одной операции при разных некорректных наборах входных значений. (Некорректность, возникающую в результате использования не всюду определенных операций, будем называть некорректностью-1.) При этом в Q` по сравнению с Q могут быть добавлены специальные операции контроля. Если не все операции в Q` являются на А` всюду определенными, возникает необходимость во введении абсурдов второго уровня для контроля некорректных-1 ситуаций в системе первого уровня контроля и т. д. Таким образом, добавляя на каждом очередном уровне те или иные значения абсурд, мы порождаем систему последовательно расширяющихся алгебр, образующих в общем случае бесконечную нижнюю полурешетку по способности справляться с некорректными-1 ситуациями в исходной алгебре Q.

В частности, подобную систему концентрических логик порождает использование не полностью определенной операции н-дополнения, описанной в п. 4.2. для контроля нарушений закона исключенного (k+1)-го на каждом уровне расширения исходной логической системы.

Концентрические системы контроля можно встретить повсюду, например, в программировании, где возникновение некорректного состояния приводит к аварийному останову (АВОСТ=абсурд первого уровня), при котором управление передается внешней по отношению к задаче операционной системе. При возникновении АВОСТа в самой операционной системе управление передается человеку-оператору, который, в свою очередь, в тех случаях, когда оказывается некомпетентным, обращается к более квалифицированному специалисту и т. д.

6.2. Другим источником появления некорректных ситуаций в системе знаний является возникновение противоречий при определении значения пропозициональных или обычных переменных, когда два или более разных источника (вывод, вычисления, сообщения по различным каналам и т. д.) приписывают одной и той же переменной взаимоисключающие значения. Например, из одного источника следует, что х=а, а из другого, что х=b. Очевидно, что формально в данном случае имеет место та же неоднозначность, что и при недоопределенности, однако по своей сути эти неоднозначности в некотором смысле противоположны - выражение x={a, b} в нашем примере будет отражать переопределенность значения переменной x. Таким образом, включение переопределенности в сферу действия формальной системы требует точно такого же расширения, как и при недоопределенности,- для того чтобы подчеркнуть содержательное различие этих расширений, второе мы назовем п-расширением.

Будучи сходными только по форме, но совершенно различными по существу, недоопределенность и переопределенность не должны смешиваться при использовании в формальной системе на одном и том же уровне.

В качестве примера ошибки при введении недоопределенности и переопределенности совместно в класс логических значений можно привести известную логику L4 Белнапа [8]. Эта логика определяется на классе {Т, F, BOTH, NONE}, где Т и F - классические значения истинности, BOTH - это значение, о котором известно, что оно является одновременно Т и F (переопределено), a NONE - значение, о котором еще ничего неизвестно (полная неопределенность). Гипноз выбранных лексических этикеток BOTH и NONE приводит Белнапа к ошибке - он рассматривает свой класс как решетку А4:
BOTH
F 4A T
NONE

в то время как он является двойной полурешеткой

BOTH



NONE

F T

поскольку, если брать BOTH и NONE независимо друг от друга, то оба они являются множествами {Т, F} (Белнап же ошибочно принимает NONE за пустое подмножество истинностных значений). Это смешение различных компонентов на одном уровне приводит автора к определениям логических связок, весьма неестественным с точки зрения данной им же содержательной интерпретации значений BOTH и NONE. Представляется невозможным, например, дать разумную содержательную интерпретацию определениям BOTHNONE=Т и BOTHNONE=F (см. [8], с. 219-220); согласно им, ложна конъюнкция и истинна дизъюнкция утверждений, об истинности которых нам ничего неизвестно, поскольку одно из них переопределено, а второе - недоопределено.

С нашей точки зрения, алгебру с BOTH и NONE можно было бы построить двумя способами.

1. Как двойную полурешетку из класса {T, F, BOTH, NONE}. При этом, в соответствии с (4.1.а), для NONE=={T, f}н имеет место

BOTH D NONE={BOTH D Т, ВОТН D F}н, D{, }.

Если ВОТН={Т, F}п, то в соответствии с той же формулой (4.1.a) BOTHNONE={{Т, F}п, F}н={BOTH, F}н,

BOTHNONE={Т, {Т, F}п}н={BOTH, Т}н.

(Индексы наверху маркируют соответственно н- и п-значения.)

2. Как н-расширение п-расширения классической логики, т. е. н-расширение логики на классе {Т, F, BOTH}. Класс новой логики, очевидно, определяется как

{Т, F, BOTH, {Т, F}н, {Т, BOTH}н, {F, BOTH}н, {Т, F, BOTH}н}.

При этом, в соответствии с (4.1.а), для NONE={Т, F, BOTH}н имеет место:

BOTHDNONE={BOTNDТ, ВОТНDF, ВОТНDВОТН}

и, далее, для ВОТН={T, F}п:

BOTHNONE={BOTH, F}н,

BOTHNONE={BOTH, T}н.

Таким образом, результаты BOTHDNONE в обоих вариантах алгебры совпадают.

6.3. Известны четырехзначные логики, включающие учет недоопределенности в некорректности-1 (см., в частности, п. 10). Например, класс {Т, F, {Т, F}н, абсурд}, где абсурд соответствует невозможности/нерелевантности остальных трех значений, действительно образует решетку А4, ввиду чего на нем может быть построена содержательная логика, являющаяся абсурдным расширением н-расширения классической логики. Имеет смысл и рассмотрения н-расширения трехзначной логики, представляющей собою абсурдное расширение классической. Кроме различия по существу, эти две логики очевидным образом разнятся тем, что класс второй из них содержит не четыре, как у первой, а семь значений: к тем же четырем добавляются три недоопределенных значения, включающих абсурд (см. п. 10.2).

Недостаточно отчетливое до последнего времени разделение в логике аппаратных составляющих, обслуживающих некорректность-1, недоопределенность и переопределенность, а также, возможно, и другие, еще неизвестные нам в чистом виде НЕ-факторы, связано, по-видимому, в значительной степени с тем, что объектом разработки и исследования в области неклассических логик являлись в основном малозначные (трех- и четырехзначные) логики. Например, в трехзначной логике, рассматривая третье значение как неизвестность, довольно трудно не определить связки таким образом, чтобы это третье значение не совпало с полной неопределенностью, а вся логика - с н-расширением классической двухзначной. Поскольку учет недоопределенности или переопределенности для двухзначной логики требует только одного дополнительного значения, то включение каждого из этих НЕ-факторов в рассмотрение воспринимается исследователем не как качественный скачок, а просто как переход к трехзначной системе. Но уже для этой последней переход к ее н- или п-расширению требует семи значений и не может быть осуществлен без совершенно отчетливого представления о содержательной интерпретации конструируемой многозначной логики.

7. Модели с недоопределенными переменными.

Все сказанное выше имеет целью определить формальные рамки проблемы, основное содержание которой мы видим в разработке аппарата, позволяющего реализовать автоматически логический вывод и/или вычисления, направленные на наиболее полное использование имеющейся в Системе информации о денотатах и отношениях между ними как для уточнения недоопределенных составляющих этой информации.

7.1. Задача организации вычислений на модели не нова - любой алгоритм есть частный случай модели, в которой входные переменные полностью определены и все отношения представляют собой функциональные зависимости, упорядоченные таким образом, что выполнение всех предшествующих полностью определяет входные переменные очередной функции. Более общим случаем являются вычислительные модели Тыугу [9, 10], концептуальные программы, в которых каждое отношение интерпретируется несколькими функциями и отсутствует априорное разделение связанных отношением переменных на аргументы и результаты. Такое разделение в этих моделях реализуется динамически, поскольку к моменту начала вычислений часть переменных должна быть полностью определена,- тем самым образуется множество потенциальных аргументов для функций, интерпретирующих отношения. Те из функций, у которых все аргументы полностью определены, выполняются, добавляя свои результаты ко множеству полностью определенных переменных. Это позволяет вычислить очередные функции и т. д. вплоть до получения значений всех или требуемых переменных. В такой форме вычислительные модели являются удобным средством организации автоматического синтеза программы вывода/вычислении. Это их свойство положено в основу известной системы программирования ПРИЗ [ 11].

Введение в модели недоопределенного аппарата позволяет осуществлять выкладки с не полностью известными значениями переменных. При этом в принципе становятся излишними понятия аргумента и результата, поскольку в процессе недоопределенных вывода/вычислений все переменные модели имеют значения (отражающие величины соответствующих денотатов с разной степенью недоопределенности). Таким образом, н-переменные в модели являются для процесса вывода одновременно и аргументами, и результатами, причем уточнение значений не обязательно направлено от переменных с более точными значениями к переменным с менее точными, но может происходить и в обратном направлении, поскольку уточняется вся совокупность данных за счет содержащейся в модели имплицитной информации.

Простой пример:

*x={1, 2, 3}, *у={7, 8, 9, 11}, *z={10, 16};

отношение r(х, у, z) задано уравнением x+y-z=0, легко видеть, что *у и *z уточняются до *y={7, 8, 9}, *z={10}.

7.2. Переходя к вычислительным моделям с н-переменными (будем называть их обобщенными вычислительными моделями, или ОВМ), мы получаем качественно новый класс задач, для которого организация процесса решения носит принципиально интерпретационный характер (в отличие от компиляционного, основанного на автоматическом синтезе программы, который, как мы уже упоминали, характерен для традиционных вычислительных моделей).

Рассмотрим функции интерпретации для отношений с н-переменными более подробно. Пусть r`(X`) - отношение, связывающее в модели (X, R) переменные X`={x1,..., xm} и *a1,..., *ат соответственно н-значения н-переменных *x1,..., *xm, определяемые моделью (X, R ). Таким образом, возможные значения переменных x1,..., xm связаны отношением r"(X`), сопряженным предикату

,

где Р` - предикат, сопряженный отношению r`(X`), а каждой функции хi: =f x1,..., xi-1, xi+1,, xm), im, интерпретирующей отношение r`, сопоставляется функция интерпретации от соответствующих н-переменных

xi:={Х = fi(...,xk,...)` xk*ak, k =1,.... i-1, i+1,..., m}*аi. (7.1)

Это означает, что уточнение любой н-переменной в модели должно приводить к вычислению всех функций интерпретации, аргументом которых данная переменная является. В силу этого, процесс вывода/вычислений на ОВМ описывается следующим циклом (обозначим Xt - множество н-переменных, значение которых уточнилось на шаге t, a F`Xt -множество функций интерпретации, хотя бы один аргумент которых принадлежит *Xt).

Процесс начинается при добавлении к ОВМ одного или нескольких сообщений, в этом случае вычисляются все функции интерпретации новых отношений, что приводит к формированию множества *Xt=1.

Процесс останавливается, когда на очередном шаге t+1 вычисление всех функций F`*Xt не приводит к уточнению ни одной н-переменной.

Таким образом, мы описали вывод на ОВМ как параллельный, синхронный, недетерминированный процесс (недетерминированным он является потому, что порядок вычисления функций F`*Xt на каждом шаге произволен). Более общим и удобным для программной реализации является асинхронный процесс, который может быть описан в форме параллельной Системы, осуществляющей на очередном шаге t+1 следующую последовательность действий:

(а) множество функций F`*Xt присоединяется к множеству функций aFt, оставшихся в активированном состоянии после предыдущего шага;

(б) из образовавшегося множества выбирается произвольное подмножество функции +Ft+1, каждая из которых считывает текущее значение своих аргументов из общей памяти и передается на исполнение, присоединяясь таким образом к множеству pFt функций, сохраняющих рабочее состояние после предыдущего шага; оставшееся множество активированных функций образует aFt+1.

(в) из множества функций, находящихся в рабочем состоянии, исключается произвольное подмножество -Ft+1 функций, завершающих исполнение на текущем шаге; результаты вычисления этих функций сравниваются (в произвольном порядке) со значениями соответствующих н-переменных в общей памяти, те н-переменные, которые изменили свое значение, образуют множество Xt+1, определяющее множество F`Xt+1;

(г) если множества *Xt+1, aFt+1, pFt+1 - пусты, процесс заканчивается, иначе осуществляется переход к следующему шагу.

Таким образом, асинхронный параллельный процесс работы ОВМ представим следующей системой рекуррентных соотношений:

aF`t+1= aFtF`*Xt, +Ft+1 aF`t+1,

aFt+1= aF`t+1+Ft+1; (7.2)

pF`t+1= pFt +Ft+1, -Ft+1 pF`t+1

pF`t+1= pF`t+1-Ft+1.

Результаты вычисленных функций множества -Ft+1 определяют множество н-переменных *Xt+1. Существенно отметить, что

(а) описанный процесс является специальным типом параллельного процесса с потоковым управлением и общей памятью;

(б) в соответствии с формулой (7.1), недоопределенность значений н-переменных в ОВМ может только убывать, в связи с чем процесс всегда является монотонно сходящимся: более того, для моделей, в которых все переменные имеют только конечные н-значения, процесс всегда останавливается за конечное число шагов.

Ниже мы обсудим пример, иллюстрирующий использование формулы (7.1) при интерпретации отношения с н-переменными, и в следующем разделе рассмотрим ряд специальных типов данных, обеспечивающих представление и обработку н-переменных.

7.3. П р и м е р. Целые положительные переменные а и b с областью значений от 1 до 100 связаны отношением r(а, b)=(b-8а+15=0), которое, как очевидно, интерпретируется двумя функциями f1: a:=(b+15):8; f2: b:=8а-15.

При переходе к функциям от н-переменных *а и *b получаем:

f1: *a:{a=(b+15):8`b*b}*a;

f2: *b:{b=8a-15`a*a}*b;

Даже без дополнительных ограничений на значения а и b отношение *r, вернее, н-функции *f1 и *f2 его интерпретации, позволяют уточнить значения *а и *b:

начальное состояние *а={1,..., 100}, *b={1,..., 100},

после применения *f2: *b={1, 9, 17,..., 97},

после применения *f1: *а={2, 3,..., 14}*b={1, 9,..., 97}.

(Нетрудно видеть, что обратный порядок применения *f1, *f2 дает тот же результат.)

Пусть из внешнего сообщения или из других отношений определено, например, что *а={3, 5, 6, 10}, в этом случае н-функция *f2 позволяет немедленно уточнить значение *b=={9, 25, 33, 65}.

8. Недоопределенные типы данных.

В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров специальных типов данных (будем называть их н-типами), обеспечивающих представление и обработку н-переменных в ОВМ. При этом весьма важно подчеркнуть, что каждой переменной со стандартным типом данных (строка, число, отрезок и т. д.) можно сопоставить в общем случае не один, а несколько различных н-типов, часто весьма значительно различающихся по своей сложности, с одной стороны, и мощности реализуемого ими вывода на ОВМ, с другой. Ниже мы рассмотрим относительно простые н-типы для чисел (п.8.1), отрезков (п.8.2) и множеств (п.8.3).

8.1. Ч и с л о. Недоопределенное число (н-число) *х можно представить интервалом , где и - соответственно верхняя и нижняя оценки денотата переменной.

Для иллюстрации продемонстрируем примеры нескольких отношений над н-переменными и функции их интерпретации.

(а) Унарное отношение r: (xCONST) интерпретируется как . Это означает, что при добавлении r к модели верхняя оценка *х не меняется, а нижняя может стать более точной.

К о м м е н т а р и й: если в модели Т`, равной модели Т без данного r не имеет место , то сообщение r не информативно для Системы. Если для Т` справедливо , то н-значение *х становится более точным при добавлении r к Т`. И, наконец, если в Т` имеет место , то Т - противоречива, что проявляется в нарушении встроенного в данный н-тип отношения .

Соответственно унарное отношение (xCONST) интерпретируется как .

(б) Каждая k-арная функция х :=f(x1,..., xk) заменяется в соответствии с (7.1) двумя функциями, определяющими интервал-значение н-переменной *х следующим образом:

, (8.1)

где - результат вычисления интервальной функции, соответствующей данной f. Например, бинарное отношение r: (х=у) интерпретируется как x:=у; у:=х, где х:=у определяется для н-чисел интервалов как ; , н-функция сложения х:y+z в соответствии с (8.1) будет выглядеть как ; , a н-функция вычитания x:=y-z как , . Отметим, что для н-типа интервал существует хорошо развитый аппарат - интервальная математика [12, 13], на базе которого могут быть построены достаточно мощные прикладные пакеты расчетов типа ОВМ; интервал не единственный и не наилучший по мощности вывода/вычислений н-тип, представляющий недоопределенное число: в частности, для н-чисел с конечным множеством значений представление н-значения множеством (как это мы делали в примерах предыдущих разделов) является оптимальным по мощности вывода, но, как очевидно, далеко не оптимальным в общем случае по эффективности.

П р и м е р. Приведем пример вывода для целых чисел, представленных н-типом интервал. Процесс уменьшения недоопределенности рассматривается в данном примере для двух целых переменных. связанных двумя отношениями в форме линейных уравнений. Эти уравнения х+у-6=0 и 2х-у=0 интерпретируются системой функций:

1. х:=6-у 3. х:=у/2 (только для четных у)

2. у:=6-x 4. у:=2х.

Определение этих функций для н-типа интервал представлены ниже. В качестве начальных значений взяты интервалы [-6, +8] для х и [-8, +12] для у. Естественно, начальные значения могут быть другими, но так или иначе границы интервалов оценок денотатов в системе представления знаний всегда конечны. Н-расширения функций 1-4 выглядят следующим образом:

1.1. 2.1. 3.1. 4.1.

1.2. 2.2. 3.2. 4.2. .

(Общее правило для целочисленных денотатов: если результат функции не целый, то присваивания не происходит, а изменяются значения аргументов, при этом верхние границы уменьшаются на 1, а нижние увеличиваются.)

Таблица 1

Переменные


x


y







начальные значения


+8


-6


+12


-8

Применяемые функции

3.1

2.2

3.2

2.1

3.1

2.2

3.2

3.1






+6







+3







+2








0









+2










+6

+4






0







+3

+4

Протокол одного из возможных вариантов процесса вывода приведен в табл. 1. Легко убедиться в том, что другой порядок применения функций приведет к тому же результату.

У обоих н-чисел верхние и нижние границы равны, вывод закончен.

8.2. О т р е з о к. Отрезок в геометрии па прямой представляется парой чисел, соответственно н-отрезок *Х можно представлять парой н-чисел (*X1, *Х2), соответствующих н-точкам на координатной оси (*X1-начало, а *Х2 - конец н-отрезка *Х; если отрезку не приписывается направление, то *X2>*X1). Более мощным по выводу будет представление отрезка тройкой (*X1, *X2, *Xd), где *X1 и *Х2 имеют тот же смысл, что и выше, a *Xd - н-число, представляющее длину отрезка (т. е. Х2-X1-Xd=0).

Таким образом, н-отрезок тройка представляет собой микроОВМ с тремя н-переменными типа число *X1, *Х2 и *Xd и двумя отношениями. Отношение *Х2>*Х1 интерпретируется н-функциями

; (8.2)

а отношение X2-X1-Xd=0, как очевидно, тремя функциями Х2:=X1+Xd; X1:=X2-Xd; Xd:=X2-X1; порождающими н-функции в соответствии с правилами, описанными выше для н-чисел.

Рассмотрим несколько примеров сообщений.

(а) Унарное отношение длина отрезка Х не превышает CONST добавляет к микроОВМ, описывающей н-отрезок *Х, отношение Xd
(б) Бинарное отношение отрезок Х расположен внутри отрезка Y добавляет к паре микроОВМ *Х и *Y отношения Х2Y2 и Y1Х1, н-интерпретация которых дана выше.

Недоопределенные отрезки были использованы для представления временных интервалов в экспериментальной базе знаний ВРЕМЯ-1 [3.14].

8.3. М н о ж е с т в о. Недоопределенное, т. е. неполностью известное множество *Х, может представляться парой (+X, Хс), где +Х-множество известных на данном шаге элементов денотата X, а Хс - кардинал денотата Х (неотрицательное целое число или н-число) и отношением #(+Х)Хс, в котором равенство имеет место только для определенных множеств.

Функция Х:=f(...) для этого н-типа определяется как +Х:=+X+B; Хс:=Вс, где (+В, Вс) есть н-множество, являющееся результатом соответствующего расширения операции f для данного н-типа.

Для н-расширений основных теоретико-множественных операции - объединения, пересечения, исключения - при недоопределенных аргументах кардинал результата является н-числом, поэтому н-тип множество, в котором кардинал представлен определенным числом, практически неинтересен. Таким образом, ниже мы рассматриваем н-тип, где кардинал - н-число.

П р и м е р. Результатом операции YZ будет н-множество В, в котором, как очевидно, +B=+Y+Z, а кардинал Вс есть н-число , определяемое следующим образом:

, . (8.3)

Действительно, максимальное число элементов будет в В, если оба аргумента имеют максимальное число элементов и все эти элементы - разные, кроме тех, о которых уже известно, что они одинаковые (+Y+Z); минимальное число элементов в В будет, если один из аргументов целиком содержится в другом, а этот последний имеет минимальное число элементов.

Рассмотрим несколько примеров отношений над н-множествами.

(а) Унарное отношение r1: (CONSTX), где CONST - определенное множество, интерпретируется как +X:=+XCONST; Xc#CONST.

(б) Бинарное отношение r2: (XY) интерпретируется функцией Y:=YХ и отношением XсYc. Н-расширение функции Y:=YХ имеет вид +Y:=+Y+Х; ; , а интерпретация YсХс, как мы знаем из п. 8.2., вид ; , объединение этих соотношений определяет н-интерпретацию отношения XY.

В конце данного раздела дан пример интерпретации и обработки на ОВМ системы 2-х простых отношений для н-множеств вида (+Хс, Хс). В примере, в частности, показано, что рассмотренный н-тип не является максимальным по мощности вывода. Легко убедиться, что более мощными по выводу будет н-множество вида *X=(+X, -Х, Хс), где -X представляет множество элементов, о которых известно на данном шаге, что они не принадлежат к X. При этом формула (8.3) дополняется выражением -Х:=-X-B. Отметим, что переход к новому н-типу по-разному отражается на интерпретации отношений. Например, интерпретация унарного отношения r1: CONSTX не меняется при этом вообще, но зато отношение rЗ: CONSTX=, не имеющее интерпретации (т. е. не воспринимаемое моделью и не оказывающее влияние на результаты вывода) при н-типе (+Х, Хс), получает интерпретацию -Х:=-ХCONST. Определение (8.3) н-расширения операции YZ дополняется выражением , а выражение для Вс уточняется:

.

Н-тип множество может определяться по-разному; для случая, когда элементы всех н-множеств принадлежат конечному универсуму, и для случая, когда универсум является бесконечным/открытым. Более полное исследование по представлению недоопределенных множеств можно найти в [15].

П р и м е р. В качестве примера вывода для переменных-множеств, представленных н-типом (+X, Хс), рассмотрим следующие два отношения,

Таблица 2

Переменные


X


Y


Z

Z


W

+X






+Y






+Z







+W





нач. знач.


2, 3, 4


5


3


4,6


3


2


5


10


1


1,2


7


3

Примен. функции





























































1.1




















4,5
















1.2























3













1.3


























2










2.1


2. 3, 4. 5


































2.3








4




























3.1











4,5,6

























3.3














3






















5.1


1, 2, 3, 4, 5


































5.3








5




























4.2
































4




Результат


1, 2, 3, 4, 5


5


5


4,5,6


3


3


4,5


3


2


1,2


4


3

включающие четыре переменных: Z=ХY; WX. Для первого из них имеются три функции интерпретации:

1. Z:=ХY

2. Х =ZX

3. Y =ZY,

а для второго - две:

4. #W<#X

5. X:=XW.

Для н-типа (+Х, Хс) эти интерпретации определяются следующим образом (тривиальные операторы вида а:=a опускаются):

1.1.

1.2.

1.3.

2.1.

2.3.

3.1.

3.2.

4.2.

5.1.

5.3. .

В табл. 2 приводится один из вариантов процесса уменьшения недоопределенности значений н-переменных. Первая строка таблицы представляет (случайное) начальное состояние процесса, а в последней даются результаты вывода. Порядок применения операторов может быть другим, но процесс даст тот же результат при любом конкретном начальном состоянии. Здесь специально взят пример, где результат вывода неполон (для данного начального состояния может быть выведено значение ), чтобы подчеркнуть: мощность вывода зависит от выбора н-типа и н-интерпретаций. Например, н-тип (+Х, -Х, Хс) обеспечил бы в данном случае полный вывод.

9. Недоопределенные модели.

Выше мы обсудили модели, оперирующие с недоопределенными значениями переменных. С этой точки зрения их можно было рассматривать как недоопределенные модели (н-модели) первого порядка. Для этих моделей определены:

(1) сам факт существования объектов, представляемых переменными X;

(2) типы этих переменных, области их значений;

(3) характер отношений из R.

Можно рассматривать н-модели более высокого порядка, в которых отсутствует то или иное сочетание определенностей (1)-(3).

В данном разделе мы обсудим представление в н-моделях неоднозначных функций (п. 9.1). недоопределенных функции (п. 9.2) и отношений (п. 9.3), а также приведем примеры н-типов, базирующихся на понятии недоопределенного отображения (п. 9.4).

9.1. Очевидно, что в общем случае функции, интерпретирующие отношение, не являются однозначными. В то же время традиционные методы вычислений, как правило, основаны на использовании однозначных функций, исключением являются некоторые новые направления такие, например, как упоминавшаяся выше интервальная математика. Расширение понятия функции до функции от недоопределенных переменных позволяет уравнять в правах однозначные и неоднозначные функциональные зависимости.

Действительно, рассмотрим неоднозначную m-арную операцию f на А, отображающую Аm в *A, т. е. сопоставляющую произвольному набору т объектов из А не один, а некоторое подмножество объектов из А.

Перейдем к н-расширению операции f, которое определим по формуле (9.1), являющейся обобщением формулы (4.1.а) для неоднозначных операций:

. (9.1)

Очевидно, что операция *f будет замкнута на *А, хотя операция f не была замкнутой на А. Таким образом, н-расширение любой формальной системы Q=(A,F), включающей неоднозначные операции, может рассматриваться наряду с н-расширениями систем, включающих только однозначные операции.

9.2. Неоднозначные функции могут служить недоопределенной моделью неточно известной функциональной зависимости, например, в том случае, когда предметная область характеризуется вполне конкретным ассортиментом операций, однако Системе неизвестно, какая именно операция из некоторого ограниченного набора реализует функциональную зависимость для данных переменных, хотя наличие самой зависимости известно.

В этом случае результатом недоопределенной функции будет объединение результатов функций, претендующих на соответствующее место в модели.

В процессе обработки недоопределенная функция может автоматически уточняться: пусть, например, в Системе имеется информация о недоопределенной функциональной зависимости х:=f(x1,x2), причем о функции f известно только, что f{f1,..., fk}, где f1,..., fk - конкретные функции от двух переменных. Нетрудно видеть, что недоопределенная функция *х:*f(*x1, *x2) представляется выражением, обобщающим (7.1):

.

При этом, если какой-либо член этой теоретико-множественной суммы становится пустым множеством, соответствующая функция fk исключается из определения функции f. В результате такого процесса уточнения, совершенно аналогично с уточнением недоопределенных значений переменных, функциональная зависимость f (если общая информация в Системе для этого достаточна) может становиться все более определенной, стать совершенно конкретной или даже может обнаружиться, что ни одна из f1,..., fk не может выступать в качестве f (противоречие).

9.3. Наконец, перейдем к моделям, включающим недоопределенные отношения. Рассмотрим случай, когда Системе известно, что переменные X`X связаны отношением r, но конкретный вид этого отношения недоопределен, т. е. информация о r в Системе ограничена утверждением r {r1,..., rk}, r1,..., rkR.

Очевидно, что в этом случае функции интерпретации отношений r1,..., rk могут быть сгруппированы таким образом, чтобы образовывать недоопределенные функции интерпретации недоопределенного отношения r. При этом существенно то, что исключение любой конкретной функции интерпретации в процессе уточнения (см. 9.2) приводит очевидным образом к исключению соответствующего отношения ri из определения r и, следовательно, к исключению всех функций интерпретации отношения ri из определений функций интерпретации отношения r.

Таким образом, аппарат, позволяющий осуществлять обработку н-значений переменных, обеспечивает базис для организации процесса вывода/вычислений для моделей, включающих недоопределенность более высокого порядка - недоопределенные функции и отношения.

9.4. В качестве примера использования недоопределенных функций в н-моделях рассмотрим недоопределенное расширение *М отображения М: АВ такое, что для всякого а из А *М(а) есть н-множество из элементов В. Н-отображение может быть использовано для определения н-типов, представляющих более сложные типы данных, чем рассматривавшиеся выше, например, для определения н-графа. Пусть G=(A, Г) есть (обычный) ориентированный граф, где A-множество вершин и Г - отображение AА. Можно рассматривать по крайней мере два различные определения н-графа.

Н-граф 1: множество А вершин есть обычное (определенное) множество, а Г является н-отображением; это означает, что множество дуг, исходящих из произвольной вершины а из A (т. е. Г(a)), есть в общем случае н-множество.

Н-граф 2: А является н-множеством, а Г - н-отображением.

10. Краткий обзор.

Перед тем, как перейти к заключению, следует, хотя бы кратко, остановиться на некоторых работах, связанных с обсуждаемой проблематикой.

10.1. Известно несколько направлений математики, оперирующих приблизительными величинами. Мы уже упоминали интервальный анализ. Значительное внимание уделялось этим вопросам и в логике - сошлемся на аналитический обзор по многозначным логикам [16]. Уже во введении этой работы подчеркивается принципиальное различие логических значений, представляющих неполноту информации и бессмыслицу.

В последние годы заметно активизируются исследования по четырехзначным логикам в классе {ИСТИНА, ЛОЖЬ, НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ, АБСУРД} - это четвертое значение у разных авторов трактуется по-разному. Среди публикаций, связанных с проблематикой представления знаний, отметим известную работу [17], в которой специальный раздел посвящен выделенным значения неизвестно и неопределено и логическим функциям, учитывающим эти значения. Другим примером включения этих понятий в логическую систему является диссертация [18], посвященная формальному исследованию свойств баз данных с пропусками, часть из которых трактуется как нерелевантность данного атрибута для данного объекта (inconsistency, nothing), а другая-как полная неопределенность (unknown, missing); таким образом, рассматривается класс , где А - область значения атрибута, Ab - нерелевантность и - полная неопределенность. Примером последовательной реализации недоопределенного расширения логической системы является работа К. Бринка [19] Восьмизначная логика, в которой автор рассматривает логику, полученную добавлением пустого значения (абсурд) к н-расширению трехзначной логики на классе (T,F нейтрально).

10.2. Отдельно следует отметить работы [20, 21]. В первой из них упоминавшийся в п. 6.3 класс логических значений, полученный н-расширением класса-{ИСТИНА, ЛОЖЬ, АБСУРД}, использовался при описании взаимосвязи истинностных значений высказываний, входящих в семантические и прагматические компоненты лексических единиц. На этом классе были рассмотрены унарные функции вида x=f(y), каждая из которых соответствует конкретному типу логической связи между значениями пары высказываний, принадлежащей к определенному типу.

Во второй работе предлагалось использовать н-расширения классов логических значений при описании абсолютных и индивидуальных знаний и перечислялось четыре класса, достаточных, по мнению автора работы, для моделирования этих систем знаний: ИСТИНА, ЛОЖЬ, ИСТИНА, ЛОЖЬ, АБСУРД, ИСТИНА, ЛОЖЬ, НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ, ИСТИНА, ЛОЖЬ, АБСУРД, НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ. (Отметим, что, таким образом, в случае третьего класса речь идет о н-расширении н-расширения двузначной логики, а в случае четвертого - о н-расширении н-расширения, дополненного значением АБСУРД.) Все эти работы лингвистического характера, логические функции для этих классов, кроме указанных выше, не определялись и не исследовались.

10.3. В трудах польских математиков В. Липского и З. Павлака разрабатывалась формальная модель баз данных с неполной информацией, в которых атрибутам приписаны недоопределенные значения. (Такие значения рассматривались также в [22], где назывались гиперзначениями; там же предлагалось описывать структуру множества гиперзначений атрибута ациклическим графом, представляющим частичный порядок гиперзначений по точности). Работы В. Липского [23-25] посвящены разработке и исследованию языка запросов к этим базам данных. В [20] подобные базы рассматриваются как системы представления знаний. З. Павлак в [27] ввел понятие приблизительного множества (rough set), исследованное затем в [28]. В соответствии с этим понятием не полностью известное множество представляется двумя множествами: X, включающим те элементы универсума, которые точно принадлежат X и , содержащим элементы, которые, возможно, принадлежат X.

Очевидно, что приблизительное множество является одним из возможных н-типов, представляющих множество. Поскольку этот н-тип не дает возможность учитывать информацию о кардинале денотата, то его место по мощности вывода в ряду других н-типов не слишком высоко; в частности, при конечном универсуме приблизительные множества существенно уступают н-типу (+Х, -Х, Хс), рассмотренному в п. 8.3 и более подробно в [15].

Представляется, что упомянутые работы ни в коем случае не исчерпывают проблематики представления и обработки неполных знаний; более того, можно смело сказать, что соответствующие исследования только начинают разворачиваться.

Заключение.

1. Подведем краткий итог всему сказанному выше. В работе сделана попытка выделить в чистой форме тот компонент структуры знаний, который связан с обработкой неполной (недоопределенной) информации о значениях реальных величин, представленных в этой структуре. Рассмотрена в общем виде проблема организации вывода/вычислений на моделях при недоопределенных значениях переменных. Решение этой проблемы связывается с необходимостью разработки аппарата функций от недоопределенных переменных. В связи с этим вводится понятие н-расширения исходной алгебры и рассматриваются некоторые общие свойства таких формальных систем. В частности, показывается, что не все свойства операций исходной алгебры сохраняют силу для ее н-расширения. Это связывается с различной прагматикой понятия значения для сигнификата, представленного обычным типом данных и сигнификата, представленного н-типом. Однако при переходе от операций к функциям обнаруживается полная переносимость свойств исходного исчисления на исчисление соответствующих функций от н-переменных. При рассмотрении вывода/вычислений на моделях с н-переменными отмечается, что для этих моделей теряют смысл традиционные понятия аргумента и результата, поскольку в общем случае все переменные модели выступают в ней и в том, и в другом качестве. Обсуждается связь между недоопределенностью и анализом некорректных ситуаций внутри формальной системы, выделяются два типа факторов, являющихся источниками некорректности. Первый из них, названный некорректность-1, возникает при выходе функции за границы ее определения, второй - переопределенность - при наличии противоречий в присвоении значения сигнификату. Отмечается, что переопределенность представима с помощью тех же формальных средств, что и недоопределенность. Рассматривается взаимосвязь аппаратных компонентов, представляющих недоопределенность, переопределенность и некорректность-1 в одной формальной системе.

Приводятся примеры н-типов, операций и отношений над ними для чисел, отрезков и множеств. Обсуждаются модели, представляющие более высокий уровень недоопределенности,- недоопределенность функций и отношений.

2. Как уже было сказано во введении, данная работа не претендует на полноту рассмотрения затрагиваемых в ней вопросов. Автор ставил перед собой гораздо более скромную цель, связанную с продолжением и обобщением своих предшествующих работ, направленных на создание аппарата, который позволит представлять и обрабатывать недоопределенные данные.

Множество, число, логическая переменная и переменная общего вида с конечным множеством значений являются основными базовыми типами в системах представления знаний. Первые два из них исследовались, хотя и в самой предварительной форме, в [15, 29]. В этом плане перед настоящей работой ставились две задачи:

(а) обсудить возможность приложения недоопределенного подхода к остальным двух базовым типам переменных;

(б) сформулировать некоторую методологическую основу, обобщающую эти работы и определяющую их место в исследованиях по представлению знаний.

Следует признать, что у автора нет ощущения, что он полностью справился с этими задачами. В то же время, однако, имеющийся материал достиг того порога в развитии, когда представление его на семинаре или в форме предварительной публикации перестает обеспечивать адекватную обратную связь и становится необходимым более широкое обсуждение.

Остается добавить, что работы по развитию недоопределенного аппарата в Лаборатории искусственного интеллекта ВЦ СО АН СССР ведутся достаточно активно. Кроме теоретических исследований, были реализованы несколько экспериментальных систем, на базе которых в настоящее время создается программный комплекс, обеспечивающий обработку н-типов на основе ОВМ и аппарата спецификации активных типов данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нариньяни А. С., Кандрашина E. Ю. Эскиз модели пространства в системе представления знаний о действительности. Препринт N 368. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.

2. Кандрашина E. Ю. Время в представлении знаний. Соотношение между последовательностями событий. Препринт N 463. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.

3. Кандрашина E. Ю. Представление и обработка темпоральной информации в интеллектуальных системах. Дис. на соискание уч. ст. канд. ф.-м. наук. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

4. Кандрашина E. Ю. Биструктурная организация семантико-прагматического уровня представления информации: программный эксперимент.- В кн.: Проблемы искусственного интеллекта и распознавание образов. Секция 1. Искусственный интеллект. (Тез. док. и сообщений). Киев: ИК АН УССР. 1984.

5. Zadeh L. A. Fuzzy Sets. - Inf. & Control, 1965, No.8.

6. Чесноков С. В. Силлогизмы в детерминационном анализе.- Изв. АН СССР. Техн. кибернет.,1984, N 5.

7. Фреге Г. Смысл и денотат.- В кн.: Семиотика и информатика. М., 1977. вып. 8.

8. Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру.- В кн.: Логика вопросов и ответов. М.: Мир. 1981.

9. Тыугу Э. Х. Решение задач на вычислительных моделях.- ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, N 3.

10. Тыугу Э. X. Концептуальное программирование. М.: Наука. 1984.

11. Кахро М. И., Калья А. П., Тыугу Э. X. Инструментальная система программирования ЕС ЭВМ (ПРИЗ). М.: Финансы и статистика, 1981.

12. Interval Mathematics. (Led Notes in Computer Science) 1975. v. 29, N. 4.

13. Шокин Ю. II. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

14. Kandrashina E. Yu., Ohakovskaia О.N., Zagorulho Yu. A. TIME-1: Semantic system for dynamic object domain.- In: 2-nd Conf. on Art. Intel. Miami Beach. Florida. Appl., Dec. 11-13, 1985.

15. Нариньяни А. С. Недоопроделенные множества - новый тип данных для представления знаний. Препринт N 232. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980.

16. Финн И. К. Аншаков О. М., Григолия Р. Ш., Забежайло М. И. Многозначные логики как фрагменты формализованной семантики.- В кн.: Семиотика и информатика. М.: 1980. вып. 15.

17. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир. 1976.

18. Ju. t..>. ... A Formal Treatment of Imperfect Information in Database Management.- Technical Report CSRG-123. University of Toronto, 1980.

19. Brink Ch. An eight-valued logic.- Proc. of the 11-th Int. Symp. on Multiple Valued Logic Norman. Oki. May 27-29 1982. N. Y. 1981.

20. Разлогова E. Э. Логические отношения между смыслом и его компонентами.-НТИ. Сер. 2. 1982. N 1.

21. Разлогова Е. Э. Проблема точки зрения в лексическом выводе.- В кн.: Семинар проекта ДИАЛОГ. (Тез. докл.), Тарту: ТГУ, 1982.

22. Нариньяни А. С. Лингвистические процессоры ЗАПСИБ. Ч. 2. Общая схема и основные модули. Препринт N 202. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979.

23. Lipski W. Jr. On the Logic of Incomplete Information.- ICS PAS Reports. Warszawa. 1977. No. 300.

24. Lipski W. Jr. On Semantic Issues Connected with Incomplete Information Darabases.- ACM Transactions on Database Systems. 1979, v. 4, No. 3.

25. Lipski W. Jr. On Databases with Incomplete Information.- Journal of the ACM, 1981. v. 28, No. 1.

26. Orlowska E., Pawlak Z. Expressive Power of Knowledge Representation Systems.- ICS PAS Reports. Warszawa, 1981. No. 429.

27. Pawlak Z. Classification of Object by Means of Attributes.- ICS РАS Report, Warszawa, 1981, No. 431.

28. Pawlak Z. Rough Sets.- ICS PAS Reports, Warszawa, 1981, No. 431.

29. Нариньяни А. С. Средства моделирования неполноты данных в аппарате представления знаний.- В кн.: Представление знаний и моделирование процесса понимания. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980.



ТЕХНИЧЕСЯ КИБЕРНЕТИКА
N 5 1986
http://www.artint.ru/